Równania i nierówności: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Równanie to waga w równowadze: lewa strona waży tyle samo co prawa. Rozwiązać je to znaleźć wagę jednego pudełka $x$ .

Na scenie wyżej widzisz zasadę, na której stoi cały dział: wolno zdjąć z obu szalek to samo albo podzielić obie na tyle samo równych części — równowaga zostaje. Nierówność to waga przechylona, a jej rozwiązaniem jest zwykle cały przedział liczb, a nie jedna liczba.

Przy równaniach i nierównościach kwadratowych dochodzi wyróżnik $\Delta$ i szkic paraboli.

Krok 2 z 6ok. 3 minZaliczone

Definicje i wzory

Równanie i przekształcenia równoważne

Rozwiązanie równania to liczba, która po wstawieniu za $x$ daje prawdziwą równość. Równanie zmieniasz na równoważne (o tych samych rozwiązaniach), gdy do obu stron dodajesz lub od obu odejmujesz to samo, albo obie strony mnożysz lub dzielisz przez tę samą liczbę różną od zera.

Równanie liniowe

Każde równanie liniowe da się sprowadzić do postaci $ax = b$ . Wtedy:

dla $a \neq 0$ jest jedno rozwiązanie: $x = \frac{b}{a}$ ;
dla $a = 0$ i $b \neq 0$ równanie jest sprzeczne — nie ma rozwiązań, zbiór rozwiązań to $\varnothing$ ;
dla $a = 0$ i $b = 0$ równanie jest tożsamościowe — spełnia je każda liczba, zbiór rozwiązań to $\mathbb{R}$ .

Tego nie ma na karcie wzorów.

Nierówność liniowa

Nierówność przekształcasz jak równanie, z jednym wyjątkiem: gdy mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, zmieniasz zwrot znaku.

-2x < 6 \;\;\Big|: (-2) \quad\Longrightarrow\quad x > -3

Tej reguły nie ma na karcie wzorów, a to najczęstsze źródło straconych punktów.

Równanie kwadratowe

Równanie $ax^2 + bx + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ , rozwiązujesz za pomocą wyróżnika:

\Delta = b^2 - 4ac

Gdy $\Delta > 0$ , są dwa rozwiązania:

\begin{gathered} x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\[6pt] x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered}

Gdy $\Delta = 0$ , jest jedno rozwiązanie $x_0 = -\frac{b}{2a}$ . Gdy $\Delta < 0$ , rozwiązań nie ma.

Te wzory masz na karcie wzorów. Jest tam też postać iloczynowa $a(x - x_1)(x - x_2)$ , która przydaje się przy nierównościach.

Nierówność kwadratowa

Nierówność typu $ax^2 + bx + c > 0$ (albo $<$ , $\geq$ , $\leq$ ) rozwiązujesz szkicem paraboli $y = ax^2 + bx + c$ : pytasz, dla jakich $x$ wykres leży nad osią (albo pod nią). Nie ma na to osobnego wzoru.

Równanie wymierne

To równanie z niewiadomą w mianowniku, np. $\frac{x + 1}{x - 2} = 3$ . Najpierw wyznaczasz dziedzinę (mianownik $\neq 0$ ), potem mnożysz obie strony przez mianownik, a na końcu sprawdzasz, czy wynik należy do dziedziny.

Krok 3 z 6ok. 4 minZaliczone

Jak to działa

Waga: to samo z obiema stronami

Na scenie domyślne równanie to $3x + 2 = 11$ . Zdejmujesz z obu szalek po 2 kostki i zostaje $3x = 9$ . Dzielisz obie szalki na trzy równe części i zostawiasz jedną: $x = 3$ . Sprawdzenie: $3 \cdot 3 + 2 = 11$ .

Gdy $x$ jest po obu stronach, najpierw zdejmujesz pudełka. W $4x + 1 = 2x + 9$ odejmujesz $2x$ i masz $2x + 1 = 9$ , potem $2x = 8$ , czyli $x = 4$ . Sprawdzenie: $17 = 17$ .

Ułamków pozbywasz się, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik — każdy wyraz:

\begin{aligned} \frac{x - 1}{2} - \frac{x}{3} &= 1 \quad \Big| \cdot 6 \\ 3(x - 1) - 2x &= 6 \\ 3x - 3 - 2x &= 6 \\ x &= 9 \end{aligned}

Sprawdzenie: $\frac{8}{2} - \frac{9}{3} = 4 - 3 = 1$ .

Sprzeczne i tożsamościowe

Czasem pudełka znikają z obu szalek naraz. W $2(x + 3) = 2x + 5$ po wymnożeniu masz $2x + 6 = 2x + 5$ , czyli $6 = 5$ . Na wadze zostają same kostki, 6 i 5, i żadne $x$ ich nie wyrówna — równanie jest sprzeczne, zbiór rozwiązań to $\varnothing$ .

W $3(x - 2) + x = 4x - 6$ dostajesz $4x - 6 = 4x - 6$ , czyli $0 = 0$ . Szalki ważą zawsze tyle samo, niezależnie od $x$ — równanie jest tożsamościowe, spełnia je każda liczba rzeczywista.

Nierówności liniowe i zmiana znaku

\begin{aligned} 5 - 2x &\geq 11 \\ -2x &\geq 6 \quad \Big| : (-2) \\ x &\leq -3 \end{aligned}

Zbiór rozwiązań to $(-\infty, -3\rangle$ . Sprawdź punkt: dla $x = -4$ masz $5 + 8 = 13 \geq 11$ , zgadza się. Dlaczego znak się odwraca? Bo mnożenie przez liczbę ujemną odbija oś: $2 < 3$ , ale $-2 > -3$ .

Równania kwadratowe: Δ albo skrót

Pełna metoda dla $x^2 - 2x - 3 = 0$ : $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$ , $\sqrt{\Delta} = 4$ , więc $x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ i $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ .

Gdy brakuje wyrazu, jest szybciej:

brak $c$ : $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ lub $x = 5$ ;
brak $b$ : $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = -3$ lub $x = 3$ ;
$x^2 + 4 = 0$ nie ma rozwiązań, bo kwadrat nie bywa ujemny.

Jeśli $\Delta = 0$ , jest jedno rozwiązanie: w $x^2 - 6x + 9 = 0$ masz $\Delta = 36 - 36 = 0$ i $x_0 = 3$ , bo to po prostu $(x - 3)^2 = 0$ . Jeśli $\Delta < 0$ , rozwiązań nie ma: w $x^2 + x + 1 = 0$ wychodzi $\Delta = -3$ .

Nierówności kwadratowe w trzech krokach

Znajdź miejsca zerowe (jak w równaniu).
Naszkicuj parabolę: dla $a > 0$ ramiona w górę, dla $a < 0$ w dół.
Odczytaj: znak $> 0$ to część wykresu nad osią $x$ , znak $< 0$ — pod osią.

Przykład: $-x^2 + x + 6 \geq 0$ . $\Delta = 1 + 24 = 25$ , więc $x_1 = \frac{-1 - 5}{-2} = 3$ i $x_2 = \frac{-1 + 5}{-2} = -2$ . Ramiona w dół, więc nad osią (i na niej) jest środek: $x \in \langle -2, 3\rangle$ . Test: dla $x = 0$ masz $6 \geq 0$ .

Drugi przykład: $x^2 - 4x > 0$ , czyli $x(x - 4) > 0$ . Miejsca zerowe 0 i 4, ramiona w górę, więc nad osią są boki: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ . Jeśli $\Delta < 0$ i $a > 0$ , cała parabola leży nad osią — wtedy $x^2 + 1 > 0$ spełnia każda liczba, a $x^2 + 1 < 0$ żadna. Szkic paraboli możesz poćwiczyć na scenie w dziale Funkcje.

Proste równania wymierne

\begin{gathered} \frac{x + 1}{x - 2} = 3 \\[6pt] x \neq 2 \end{gathered}

Mnożysz obie strony przez $x - 2$ : $x + 1 = 3x - 6$ , więc $2x = 7$ i $x = 3{,}5$ . Liczba $3{,}5$ należy do dziedziny. Sprawdzenie: $\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3$ .

Dziedzina potrafi wyciąć jedyny wynik. W $\frac{3}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$ musi być $x \neq 3$ , a po pomnożeniu wychodzi $x = 3$ . To rozwiązanie odpada, więc równanie nie ma rozwiązań.

Krok 4 z 6ok. 1 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3 - 2x < x + 9$ jest przedział

A $(-\infty, -2)$
B $(-2, +\infty)$
C $(-\infty, 2)$
D $(2, +\infty)$

Pokaż rozwiązanie

Przenosisz $x$ na lewo, liczby na prawo: $-2x - x < 9 - 3$ , czyli $-3x < 6$ .

Dzielisz przez $-3$ , więc zmieniasz znak: $x > -2$ .

Sprawdzenie dla $x = 0$ : $3 < 9$ , prawda. Dla $x = -3$ : $9 < 6$ , fałsz. Zgadza się z przedziałem $(-2, +\infty)$ .

Odpowiedź A to wynik bez zmiany znaku.

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 0–2 pkt

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 5x - 3 \leq 0$ .

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Miejsca zerowe trójmianu:

\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \\ &= 25 + 24 = 49, \qquad \sqrt{\Delta} = 7 \end{aligned}

\begin{gathered} x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} \\[6pt] x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \end{gathered}

Współczynnik $a = 2 > 0$ , więc ramiona paraboli idą w górę. Wartości $\leq 0$ są między miejscami zerowymi, razem z nimi (bo znak jest nieostry).

Test: dla $x = 0$ masz $-3 \leq 0$ , prawda.

Odpowiedź: $x \in \left\langle -\frac{1}{2}, 3 \right\rangle$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Dzielenie przez ujemną bez zmiany znaku. Po $-3x < 6$ jest $x > -2$ , nie $x < -2$ . Za każdym razem, gdy dzielisz lub mnożysz przez minus, odwracaj znak.
Dzielenie przez x. Z $x^2 = 5x$ nie wolno „skrócić” $x$ , bo zgubisz rozwiązanie $x = 0$ . Przenieś wszystko na jedną stronę: $x(x - 5) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = 5$ .
Tylko dodatni pierwiastek. $x^2 = 9$ ma dwa rozwiązania: $3$ i $-3$ .
Odczyt nierówności kwadratowej w złą stronę. Po wyliczeniu przedziału wstaw jedną liczbę ze środka i jedną spoza. To kilka sekund, a wyłapuje większość pomyłek.
Zapomniana dziedzina. W równaniu wymiernym wynik, który zeruje mianownik, odrzucasz.
Nawiasy w odpowiedzi. Znak $\leq$ lub $\geq$ daje nawias kątowy (koniec należy), znak $<$ lub $>$ — okrągły. Przy nieskończoności zawsze okrągły.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Równania i nierówności

Równanie: to samo z obiema stronami. Wynik $6 = 5$ oznacza równanie sprzeczne ( $\varnothing$ ), wynik $0 = 0$ — tożsamościowe ( $\mathbb{R}$ ).
Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak.
$\Delta = b^2 - 4ac$ ; $x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; przy $\Delta = 0$ : $x_0 = -\frac{b}{2a}$ ; przy $\Delta < 0$ brak rozwiązań.
Brak $c$ : wyłącz $x$ . Brak $b$ : przenieś $c$ i pamiętaj o dwóch znakach.
Nierówność kwadratowa: miejsca zerowe → szkic paraboli → odczyt nad lub pod osią.
Równanie wymierne: dziedzina → mnożenie przez mianownik → czy wynik jest w dziedzinie.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Równania i nierówności

Co musisz umieć na maturze