Wyrażenia algebraiczne: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Wyrażenie algebraiczne to rachunek, w którym zamiast części liczb stoją litery.

W tym dziale uczysz się je przekształcać: rozpisywać nawiasy, zwijać je z powrotem i skracać ułamki z literami. Najważniejsze są trzy wzory skróconego mnożenia.

Na scenie wyżej widzisz, skąd się biorą: kwadrat o boku $a + b$ składa się z czterech płytek, a nie z dwóch. Dlatego $(a + b)^2$ to $a^2 + 2ab + b^2$ , a nie $a^2 + b^2$ — te dwie różowe płytki to najczęściej gubione punkty w tym dziale.

Krok 2 z 6ok. 3 minZaliczone

Definicje i wzory

Wzory skróconego mnożenia

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Używasz ich, gdy podnosisz nawias do kwadratu albo gdy chcesz rozłożyć wyrażenie na czynniki. Te trzy wzory masz na karcie wzorów. Na karcie są też wzory z sześcianami — na maturze podstawowej ich nie potrzebujesz.

Wielomian

Wielomian jednej zmiennej to suma jednomianów, np. $W(x) = 2x^3 - x + 5$ . Stopień wielomianu to najwyższa potęga $x$ z niezerowym współczynnikiem (tutaj 3). Wielomiany dodajesz, redukując wyrazy podobne, a mnożysz, mnożąc każdy wyraz z każdym:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Tego nie ma na karcie wzorów — to po prostu rozdzielność mnożenia.

Wyłączanie wspólnego czynnika

ab + ac = a(b + c)

To ten sam wzór co wyżej, czytany od prawej do lewej. Używasz go, gdy wszystkie wyrazy mają wspólną część, którą można „wyciągnąć” przed nawias.

Wyrażenie wymierne

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np. $\frac{x + 1}{x - 2}$ . Jego dziedzina to wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest zerem. Skracać, mnożyć i dzielić możesz tak jak zwykłe ułamki:

\begin{gathered} \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \\[6pt] \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \end{gathered}

Tych reguł nie ma na karcie wzorów.

Krok 3 z 6ok. 5 minZaliczone

Jak to działa

Skąd się bierze 2ab

$(a + b)^2$ to $(a + b)(a + b)$ . Każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnożysz przez każdy z drugiego, więc dostajesz cztery iloczyny: $a \cdot a$ , $a \cdot b$ , $b \cdot a$ i $b \cdot b$ . To dokładnie cztery płytki ze sceny. Dwie środkowe są takie same, stąd $2ab$ .

Przykłady:

\begin{gathered} (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \\[6pt] (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \end{gathered}

W drugim przykładzie $a = 2x$ , więc $a^2 = 4x^2$ , a środkowy wyraz to $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ . Wzór działa też na liczbach: $102^2 = (100 + 2)^2 = \text{10 000} + 400 + 4 = \text{10 404}$ .

Przy różnicy jest tak samo, tylko środkowy wyraz zmienia znak. Ostatni wyraz zawsze jest dodatni, bo $(-b)^2 = b^2$ . W trybie $(a - b)^2$ zobaczysz dlaczego: zabierasz z kwadratu $a^2$ dwa paski $ab$ , ale narożnik $b^2$ leży w obu paskach. Zabrałeś go dwa razy, więc raz musisz go oddać.

Na maturze często pojawiają się pierwiastki:

(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}

(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1

Różnica kwadratów w dwie strony

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ pozwala szybko liczyć: $51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499$ . Częściej używasz go do rozkładu na czynniki: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ , $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$ .

Żeby rozpoznać kwadrat sumy lub różnicy w gotowym wyrażeniu, sprawdź środkowy wyraz. W $x^2 - 10x + 25$ skrajne wyrazy to $x^2$ i $5^2$ , a $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ się zgadza, więc $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ .

Działania na wielomianach

Przy odejmowaniu minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu. Dla $W(x) = 3x^3 - 2x + 1$ i $P(x) = x^3 + 4x^2 - 5$ :

\begin{aligned} &W(x) - P(x) = \\ &= 3x^3 - 2x + 1 - x^3 - 4x^2 + 5 \\ &= 2x^3 - 4x^2 - 2x + 6 \end{aligned}

Przy mnożeniu idziesz wyraz po wyrazie, a potem redukujesz:

\begin{aligned} &(2x - 3)(x^2 + x - 4) = \\ &= 2x^3 + 2x^2 - 8x - 3x^2 - 3x + 12 \\ &= 2x^3 - x^2 - 11x + 12 \end{aligned}

Szybka kontrola: wstaw $x = 1$ . Z lewej $(-1) \cdot (-2) = 2$ , z prawej $2 - 1 - 11 + 12 = 2$ . Zgadza się.

Wyłączanie i grupowanie

Szukasz największej części wspólnej wszystkich wyrazów: $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$ . Sprawdzasz, mnożąc z powrotem. Często po wyłączeniu widać wzór skróconego mnożenia:

\begin{gathered} 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2) \\[6pt] x^3 - 6x^2 + 9x = x(x - 3)^2 \end{gathered}

Gdy wspólnego czynnika nie ma we wszystkich wyrazach, pogrupuj je parami:

\begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = \\ &= x^2(x + 2) - 9(x + 2) \\ &= (x + 2)(x^2 - 9) \\ &= (x + 2)(x - 3)(x + 3) \end{aligned}

Wyrażenia wymierne: najpierw dziedzina

Weź $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ . Najpierw dziedzina: $x^2 + 3x = x(x + 3)$ , więc $x \neq 0$ i $x \neq -3$ . Dopiero potem rozkładasz i skracasz:

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}

Wynik jest prawdziwy tylko dla $x \neq 0$ i $x \neq -3$ , nawet jeśli po skróceniu czynnika $x + 3$ już nie widać.

Mnożenie działa tak samo — rozkładasz wszystko na czynniki i skracasz na krzyż:

\begin{aligned} &\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x} = \\ &= \frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 2)} = \frac{x + 1}{x} \end{aligned}

Tu dziedzina to $x \notin \{-2, 0, 1\}$ .

Dzielenie zamieniasz na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka:

\begin{aligned} &\frac{2x}{x - 1} : \frac{4x^2}{x^2 - 1} = \\ &= \frac{2x}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{4x^2} = \frac{x + 1}{2x} \end{aligned}

Przy dzieleniu wykluczasz też liczby, dla których dzielnik jest zerem. Tu licznik $4x^2$ zeruje się dla $x = 0$ , więc razem $x \notin \{-1, 0, 1\}$ . Kontrola dla $x = 2$ : z lewej $\frac{4}{1} : \frac{16}{3} = \frac{3}{4}$ , z prawej $\frac{3}{4}$ .

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(2x - 3)^2 - (2x + 3)^2$ jest równe

A $0$
B $-24x$
C $-12x$
D $-24x + 18$

Pokaż rozwiązanie

Rozpisujesz oba kwadraty:

\begin{aligned} &(4x^2 - 12x + 9) \\ &- (4x^2 + 12x + 9) = \\ &= 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 - 12x - 9 \\ &= -24x \end{aligned}

Szybciej z różnicy kwadratów, gdzie $A = 2x - 3$ i $B = 2x + 3$ : $(A - B)(A + B) = (-6) \cdot 4x = -24x$ .

Odpowiedź A wychodzi, gdy ktoś zgubi środkowe wyrazy (myśli, że $(a \pm b)^2 = a^2 + b^2$ ). Odpowiedź D — gdy zapomni zmienić znak dziewiątki za minusem.

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

Dane jest wyrażenie $W = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$ . Wyznacz jego dziedzinę, zapisz je w najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla $x = \sqrt{2}$ .

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Dziedzina: $x^2 - 2x = x(x - 2) \neq 0$ , więc $x \neq 0$ i $x \neq 2$ .

Rozkładasz licznik ze wzoru na różnicę kwadratów i skracasz:

W = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x}

Liczba $\sqrt{2}$ należy do dziedziny, więc możesz ją wstawić:

W = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}

bo $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ .

Odpowiedź: dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$ , $W = \frac{x + 2}{x}$ , dla $x = \sqrt{2}$ wartość wynosi $1 + \sqrt{2}$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Kwadrat sumy bez środka. $(x + 5)^2 \neq x^2 + 25$ . Zawsze są cztery płytki, więc pamiętaj o $2ab$ : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ .
Zły znak na końcu. W $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$ ostatni wyraz jest dodatni. Minus dotyczy tylko środkowego wyrazu.
Minus przed nawiasem. Przy odejmowaniu wielomianów zmieniasz znak każdego wyrazu w nawiasie, nie tylko pierwszego.
Skracanie składników. W $\frac{x + 6}{6}$ nie wolno skreślić szóstek, bo $x + 6$ to suma. Skracasz tylko czynniki, czyli rzeczy pomnożone przez siebie.
Dziedzina po skróceniu. Dziedzinę ustalasz przed skracaniem. Po skróceniu $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ liczba $-3$ dalej jest wykluczona.
Zgubiony wyraz przy wyłączaniu. $3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$ , a nie $3x \cdot x$ . Gdy wyłączasz cały wyraz, w nawiasie zostaje $1$ . Sprawdzaj, mnożąc z powrotem.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Wyrażenia algebraiczne

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Mnożenie nawiasów: każdy wyraz z każdym, potem redukcja wyrazów podobnych.
$ab + ac = a(b + c)$ ; grupowanie: $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x + 2)(x^2 - 9)$ .
Dziedzina wyrażenia wymiernego: mianownik $\neq 0$ . Najpierw dziedzina, potem skracanie.
Skracasz tylko czynniki, nigdy składniki sumy.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Wyrażenia algebraiczne

Co musisz umieć na maturze