Układy równań: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Układ równań to dwa warunki, które muszą zachodzić jednocześnie. Rozwiązać układ znaczy znaleźć wszystkie pary liczb $(x, y)$ , które spełniają oba równania naraz.

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi to prosta, więc rozwiązanie układu to punkt wspólny dwóch prostych. Na scenie wyżej każda prosta ma swoją ścianę wyciągniętą w głąb.

Tam, gdzie ściany się przecinają, świeci różowy pręt — jego położenie to rozwiązanie. Dwie proste mogą przeciąć się w jednym punkcie, nie spotkać się wcale albo leżeć jedna na drugiej.

Stąd biorą się trzy rodzaje układów.

Krok 2 z 6ok. 2 minZaliczone

Definicje i wzory

Układ dwóch równań liniowych

Dwa równania pierwszego stopnia z niewiadomymi $x$ i $y$ , połączone klamrą:

\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}

Klamra znaczy „i jednocześnie”. Rozwiązaniem jest para liczb, która spełnia oba równania. Zapisujesz ją jako $x = 2,\ y = 3$ albo jako punkt $(2, 3)$ .

Trzy rodzaje układów

Liczbę rozwiązań najłatwiej ocenić, gdy oba równania zapiszesz w postaci kierunkowej $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ :

Oznaczony: dokładnie jedno rozwiązanie, proste się przecinają. Warunek: $a_1 \neq a_2$ .
Sprzeczny: brak rozwiązań, proste są równoległe i różne. Warunek: $a_1 = a_2$ i $b_1 \neq b_2$ .
Nieoznaczony: nieskończenie wiele rozwiązań, proste się pokrywają. Warunek: $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$ .

Warunek równoległości prostych masz na karcie wzorów (w części o geometrii analitycznej):

a_1 = a_2

Metod rozwiązywania układów na karcie nie ma. Tu nie trzeba nic wkuwać — trzeba umieć dwie metody.

Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, np. $y = 5 - x$ , i wstawiasz to wyrażenie (w nawiasie) do drugiego równania. Zostaje równanie z jedną niewiadomą. Używaj, gdy przy którejś niewiadomej stoi $1$ albo $-1$ .

Metoda przeciwnych współczynników

Mnożysz równania przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne (np. $4y$ i $-4y$ ). Potem dodajesz równania stronami i ta niewiadoma znika. Używaj, gdy współczynniki są „niewygodne” i podstawianie dałoby ułamki.

Krok 3 z 6ok. 5 minZaliczone

Jak to działa

Podstawianie krok po kroku

\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

Z pierwszego równania: $y = 5 - x$ . Skoro $y$ i $5 - x$ to ta sama liczba, możesz jedno zastąpić drugim w drugim równaniu:

\begin{aligned} 2x - (5 - x) &= 1 \\ 3x - 5 &= 1 \\ x &= 2 \end{aligned}

Wracasz do $y = 5 - x$ , więc $y = 3$ . Sprawdzenie: $2 + 3 = 5$ oraz $2 \cdot 2 - 3 = 1$ . Oba równania się zgadzają, więc rozwiązanie to $x = 2,\ y = 3$ . To dokładnie układ, który widzisz na scenie po wybraniu „Jedno rozwiązanie”: $x + y = 5$ to prosta $y = -x + 5$ , a $2x - y = 1$ to prosta $y = 2x - 1$ . Przecinają się w punkcie $(2, 3)$ .

Przeciwne współczynniki krok po kroku

\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 5x - 4y = 24 \end{cases}

Przy $y$ stoją $2$ i $-4$ . Pomnóż pierwsze równanie przez $2$ — wszystkie wyrazy, po obu stronach: $6x + 4y = 20$ . Teraz przy $y$ masz $4$ i $-4$ . Dodaj równania stronami:

\begin{aligned} 6x + 4y + 5x - 4y &= 20 + 24 \\ 11x &= 44 \\ x &= 4 \end{aligned}

Wstaw $x = 4$ do pierwszego równania: $12 + 2y = 10$ , czyli $y = -1$ . Sprawdzenie w drugim: $5 \cdot 4 - 4 \cdot (-1) = 20 + 4 = 24$ . Zgadza się.

Dlaczego wolno dodawać równania? Jeśli $A = B$ i $C = D$ , to $A + C = B + D$ — do obu stron dodajesz tę samą liczbę, tylko raz zapisaną jako $C$ , a raz jako $D$ .

Kiedy brak rozwiązań, a kiedy nieskończenie wiele

\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 4x - 2y = -6 \end{cases}

Pomnóż pierwsze równanie przez $-2$ : $-4x + 2y = -2$ . Dodaj do drugiego: znikają obie niewiadome i zostaje $0 = -8$ . To fałsz, więc żadna para liczb nie spełnia układu — jest sprzeczny. Na wykresie: $y = 2x - 1$ oraz $y = 2x + 3$ , ten sam współczynnik $a = 2$ , różne $b$ . Proste równoległe, nigdy się nie spotkają (na scenie: „Brak rozwiązań”).

\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $2$ . Po pomnożeniu pierwszego przez $-2$ i dodaniu zostaje $0 = 0$ . To prawda zawsze — układ jest nieoznaczony. Oba równania opisują tę samą prostą $y = -\frac{1}{2}x + 2$ , a rozwiązaniem jest każda para $\left(x,\ 2 - \frac{1}{2}x\right)$ , np. $(0, 2)$ , $(2, 1)$ , $(4, 0)$ .

Zapamiętaj: gdy znikają obie niewiadome, wynik $0 = 0$ oznacza nieskończenie wiele rozwiązań, a $0 = \text{liczba różna od zera}$ — brak rozwiązań.

Przejście do postaci kierunkowej

Zostaw $y$ po jednej stronie i podziel przez liczbę przy $y$ . Z $3x + 2y = 10$ masz $2y = -3x + 10$ , czyli $y = -\frac{3}{2}x + 5$ . Teraz od razu widzisz nachylenie $a = -\frac{3}{2}$ i punkt $(0, 5)$ na osi $y$ . W zadaniach zamkniętych z rysunkiem dwóch prostych właśnie tak sprawdzasz, który układ pasuje: porównujesz punkty przecięcia z osią $y$ i nachylenia.

Zadania z treścią

Na parkingu stoją samochody i motocykle, razem 30 pojazdów. Mają łącznie 100 kół. Ile jest samochodów?

Oznacz niewiadome. $s$ — liczba samochodów, $m$ — liczba motocykli.
Każda informacja z liczbą to jedno równanie. Pojazdów jest 30: $s + m = 30$ . Kół jest 100: $4s + 2m = 100$ .
Rozwiąż. Z pierwszego $m = 30 - s$ , więc $4s + 2(30 - s) = 100$ , czyli $2s = 40$ i $s = 20$ , $m = 10$ .
Sprawdź z treścią i odpowiedz. $20 + 10 = 30$ pojazdów, $80 + 20 = 100$ kół. Na parkingu stoi 20 samochodów.

Wynik ma też sens: liczba pojazdów wyszła całkowita i dodatnia. Gdyby wyszło $s = 12{,}5$ , to znak, że gdzieś jest błąd.

Krok 4 z 6ok. 3 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte · 0–1 pkt

Układ równań

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases}

Anie ma rozwiązań.
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2,\ y = 1$ .
Cma dokładnie dwa rozwiązania.
Dma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie

Pomnóż pierwsze równanie przez $2$ : $4x - 2y = 6$ . Dodaj do drugiego: $0 = 0$ . Obie niewiadome zniknęły, a wyszła równość prawdziwa — układ jest nieoznaczony.

Inaczej: drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $-2$ , więc oba opisują tę samą prostą $y = 2x - 3$ .

Uwaga na pułapkę B: para $x = 2,\ y = 1$ rzeczywiście spełnia oba równania ( $4 - 1 = 3$ oraz $-8 + 2 = -6$ ), ale nie jest jedyna. Pasuje też np. $x = 0,\ y = -3$ . Odpowiedź C odpada zawsze: układ równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań.

Odpowiedź: D.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

Za 3 kg jabłek i 2 kg gruszek zapłacono 20,50 zł, a za 2 kg jabłek i 5 kg gruszek zapłacono 32 zł. Oblicz cenę jednego kilograma jabłek i cenę jednego kilograma gruszek.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Niech $j$ — cena 1 kg jabłek, $g$ — cena 1 kg gruszek (w złotych). Każde zdanie o zakupach daje jedno równanie:

\begin{cases} 3j + 2g = 20{,}5 \\ 2j + 5g = 32 \end{cases}

Przy $j$ chcemy liczby przeciwne. Pomnóż pierwsze równanie przez $2$ , a drugie przez $-3$ :

\begin{cases} 6j + 4g = 41 \\ -6j - 15g = -96 \end{cases}

Dodaj stronami: $-11g = -55$ , więc $g = 5$ .

Wstaw do pierwszego równania: $3j + 2 \cdot 5 = 20{,}5$ , czyli $3j = 10{,}5$ i $j = 3{,}5$ .

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2 \cdot 3{,}5 + 5 \cdot 5 = 7 + 25 = 32$ . Zgadza się.

W zadaniu otwartym punkty dostajesz za kolejne etapy, więc samo poprawne ułożenie układu jest już coś warte. Nie zostawiaj pustego miejsca.

Odpowiedź: 1 kg jabłek kosztuje 3,50 zł, a 1 kg gruszek — 5 zł.

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Sprawdzasz wynik tylko w jednym równaniu. Para, która pasuje do jednego, często nie pasuje do drugiego — na tym budowane są błędne odpowiedzi w zadaniach zamkniętych. Wstawiaj zawsze do obu.
Gubisz nawias przy podstawianiu. $2x - (5 - x)$ to $2x - 5 + x$ , a nie $2x - 5 - x$ . Podstawiane wyrażenie zawsze bierz w nawias.
Mnożysz tylko część równania. Mnożąc $3x + 2y = 10$ przez $2$ , mnożysz też prawą stronę: $6x + 4y = 20$ .
Odejmujesz równania i mylisz znaki. Bezpieczniej pomnożyć jedno równanie przez liczbę ujemną i potem dodać stronami.
Wynik $0 = 0$ czytasz jako $x = 0$ . To nie jest rozwiązanie, tylko informacja: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. A $0 = 5$ oznacza brak rozwiązań.
Odpowiadasz na inne pytanie. Pytali o gruszki, a podajesz jabłka; pytali o motocykle, a podajesz samochody. Przed odpowiedzią przeczytaj jeszcze raz ostatnie zdanie zadania.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Układy równań

Rozwiązanie układu = para $(x, y)$ spełniająca oba równania = punkt przecięcia dwóch prostych.
Podstawianie: wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją w nawiasie do drugiego równania.
Przeciwne współczynniki: pomnóż równania tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaj stronami.
$a_1 \neq a_2$ : jedno rozwiązanie (układ oznaczony).
$a_1 = a_2,\ b_1 \neq b_2$ : brak rozwiązań (sprzeczny), w rachunku wychodzi np. $0 = -8$ .
$a_1 = a_2,\ b_1 = b_2$ : nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony), wychodzi $0 = 0$ .
Zadanie z treścią: oznacz niewiadome, ułóż dwa równania, rozwiąż, sprawdź z treścią, odpowiedz zdaniem.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Układy równań

Co musisz umieć na maturze