Funkcje: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Funkcja to maszynka: wrzucasz liczbę $x$ , wypada dokładnie jedna liczba $f(x)$ .

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów $(x, f(x))$ , czyli obrazek, z którego można odczytać prawie wszystko, o co pyta matura. Najważniejsze są dwie maszynki: liniowa (wykres to prosta) i kwadratowa (wykres to parabola).

Na scenie wyżej masz parabolę $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Suwak $a$ otwiera i odwraca ramiona, $c$ podnosi wykres, a $b$ przesuwa wierzchołek po skosie.

Zielone kropki to miejsca zerowe, a różowa część wykresu leży pod osią $x$ . Do tego dochodzą przesunięcia wykresów, funkcja $y = \frac{a}{x}$ oraz funkcje wykładnicza i logarytmiczna w zadaniach z życia.

Krok 2 z 6ok. 5 minZaliczone

Definicje i wzory

Funkcja i jej wykres

Funkcja przyporządkowuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jedną wartość. Na wykresie: każda pionowa prosta przecina wykres funkcji co najwyżej raz. Wartość funkcji dla $x = 2$ zapisujesz jako $f(2)$ :

\begin{gathered} f(x) = x^2 - 2x - 3 \\ f(2) = 4 - 4 - 3 = -3 \end{gathered}

Dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe

Dziedzina to wszystkie $x$ , które wolno wrzucić do maszynki (na wykresie: cień wykresu na osi $x$ ). Zbiór wartości to wszystkie $y$ , które mogą wypaść (cień na osi $y$ ). Miejsce zerowe to taki $x_0$ , dla którego wartość funkcji jest zerem — wykres przecina albo dotyka tam osi $x$ :

f(x_0) = 0

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy idąc w prawo, wykres idzie w górę: większy $x$ daje większe $f(x)$ . Malejąca — gdy idzie w dół. Stała — gdy jest poziomy. Przedziały monotoniczności zawsze odczytujesz na osi $x$ .

Funkcja liniowa

f(x) = ax + b

$a$ to współczynnik kierunkowy: o tyle zmienia się $y$ , gdy $x$ rośnie o $1$ . Dla $a > 0$ funkcja rośnie, dla $a < 0$ maleje, dla $a = 0$ jest stała. $b$ to miejsce, w którym wykres przecina oś $y$ , czyli punkt $(0, b)$ . Na karcie wzorów (w części o geometrii analitycznej) masz wzór prostej przez dwa punkty i warunki:

\begin{gathered} \text{równoległe: } a_1 = a_2 \\ \text{prostopadłe: } a_1 \cdot a_2 = -1 \end{gathered}

Funkcja kwadratowa

Trzy postacie tej samej funkcji ( $a \neq 0$ ):

\begin{gathered} f(x) = ax^2 + bx + c \\ f(x) = a(x - p)^2 + q \\ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \end{gathered}

Ogólna, kanoniczna (widać wierzchołek $W = (p, q)$ ) i iloczynowa (widać miejsca zerowe; istnieje tylko dla $\Delta \geq 0$ ). Wszystkie poniższe wzory są na karcie wzorów:

\begin{gathered} \Delta = b^2 - 4ac \\ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered}

\begin{gathered} p = -\frac{b}{2a} \\[6pt] q = -\frac{\Delta}{4a} \end{gathered}

$\Delta > 0$ — dwa miejsca zerowe, $\Delta = 0$ — jedno, $\Delta < 0$ — brak. Dla $a > 0$ ramiona idą w górę i $q$ jest najmniejszą wartością funkcji, dla $a < 0$ w dół i $q$ jest największą wartością.

Przesunięcie wykresu

Wykres $y = f(x - p) + q$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o wektor $[p, q]$ : o $p$ w prawo i o $q$ w górę. Na karcie jest tylko przesunięcie punktu o wektor. Regułę dla wykresu musisz pamiętać sam.

Proporcjonalność odwrotna

\begin{gathered} f(x) = \frac{a}{x} \\[6pt] a \neq 0, \quad x \neq 0 \end{gathered}

Iloczyn $x \cdot y = a$ jest stały. Wykres to hiperbola: dwie gałęzie, które zbliżają się do osi, ale nigdy ich nie dotykają. Tego wzoru nie ma na karcie.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

\begin{gathered} f(x) = a^x \qquad g(x) = \log_a x \\ a > 0,\ a \neq 1 \end{gathered}

Wykładnicza: dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, wartości są zawsze dodatnie, wykres przechodzi przez $(0, 1)$ . Dla $a > 1$ rośnie, dla $0 < a < 1$ maleje. Logarytmiczna odwraca wykładniczą: dziedzina $(0, +\infty)$ , wykres przechodzi przez $(1, 0)$ . Definicję logarytmu i jego własności masz na karcie.

Krok 3 z 6ok. 6 minZaliczone

Jak to działa

Czytanie wykresu na przykładzie sceny

Ustawienia startowe sceny to $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Z samego obrazka odczytasz:

miejsca zerowe: $x = -1$ i $x = 3$ (zielone kropki),
wierzchołek $W = (1, -4)$ , więc zbiór wartości to $\langle -4, +\infty)$ ,
funkcja maleje w $(-\infty, 1\rangle$ i rośnie w $\langle 1, +\infty)$ ,
wartości ujemne dla $x \in (-1, 3)$ — to właśnie różowy kawałek pod osią $x$ ,
punkt przecięcia z osią $y$ : $(0, -3)$ , bo $f(0) = c = -3$ .

Na maturze dostaniesz wykres na kratkach i takie same pytania. Zasada: dziedzinę, miejsca zerowe i monotoniczność czytasz na osi $x$ , a zbiór wartości na osi $y$ .

Funkcja liniowa z dwóch punktów

Prosta przechodzi przez $A = (1, 3)$ i $B = (3, 7)$ . Gdy $x$ rośnie o $2$ , $y$ rośnie o $4$ , więc na każdą jednostkę w prawo przypada $2$ w górę:

a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2

$b$ dostajesz, wstawiając jeden punkt: $3 = 2 \cdot 1 + b$ , czyli $b = 1$ . Wzór: $y = 2x + 1$ . Sprawdź drugim punktem: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Zgadza się.

Prosta równoległa do niej ma to samo $a = 2$ . Prosta prostopadła ma $a = -\frac{1}{2}$ , bo $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ . Przez punkt $(2, 1)$ przechodzi prostopadła $y = -\frac{1}{2}x + 2$ : $1 = -1 + b$ , więc $b = 2$ .

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Weź $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ . Liczysz $\Delta = 16 + 48 = 64$ , $\sqrt{\Delta} = 8$ :

\begin{gathered} x_1 = \frac{4 - 8}{4} = -1 \\ x_2 = \frac{4 + 8}{4} = 3 \\ p = \frac{4}{4} = 1 \end{gathered}

$q$ najprościej policzyć jako $f(p)$ : $q = f(1) = 2 - 4 - 6 = -8$ . Stąd

\begin{aligned} f(x) &= 2(x - 1)^2 - 8 \\ &= 2(x + 1)(x - 3) \end{aligned}

Uwaga na znaki: miejsce zerowe $-1$ daje nawias $(x + 1)$ . Wierzchołek leży zawsze dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: $\frac{-1 + 3}{2} = 1$ .

Najmniejsza i największa wartość w przedziale

W przedziale domkniętym sprawdzasz tylko trzech kandydatów: oba końce przedziału i wierzchołek — o ile $p$ leży w tym przedziale. Dla $f(x) = x^2 - 2x - 3$ :

w $\langle -2, 2\rangle$ : $p = 1$ leży w środku. $f(1) = -4$ , $f(-2) = 5$ , $f(2) = -3$ . Najmniejsza wartość to $-4$ , największa $5$ .
w $\langle 2, 5\rangle$ : $p = 1$ leży poza przedziałem, więc liczysz tylko końce. $f(2) = -3$ , $f(5) = 12$ . Najmniejsza $-3$ , największa $12$ .

Na scenie widać, dlaczego tak jest: parabola zawraca tylko w wierzchołku. Jeśli wierzchołka nie ma w przedziale, funkcja w całym przedziale tylko rośnie albo tylko maleje, więc skrajne wartości są na końcach.

Zadania optymalizacyjne

„Największe pole”, „najmniejszy koszt”, „maksymalny zysk” — gdy wielkość da się zapisać jako funkcję kwadratową jednej zmiennej, odpowiedź siedzi w wierzchołku. Schemat:

Oznacz jedną wielkość przez $x$ i wyraź drugą przez $x$ .
Zapisz funkcję (np. pole) i jej dziedzinę wynikającą z treści (długości muszą być dodatnie).
Policz $p = -\frac{b}{2a}$ i sprawdź, czy leży w dziedzinie.
Odpowiedz na pytanie: czasem pytają o $x$ , czasem o wartość $f(p)$ , czasem o oba wymiary.

Pełny przykład jest niżej, w zadaniu 2.

Przesuwanie wykresu

$y = (x - 3)^2 + 2$ to parabola $y = x^2$ przesunięta o wektor $[3, 2]$ : wierzchołek wędruje z $(0, 0)$ do $(3, 2)$ . Minus w nawiasie oznacza przesunięcie w prawo, plus — w lewo. Na przykład $y = 2^{x+1} - 3$ to wykres $y = 2^x$ przesunięty o wektor $[-1, -3]$ : o $1$ w lewo i o $3$ w dół. Każdy punkt wykresu przesuwa się tak samo, więc $(0, 1)$ przechodzi na $(-1, -2)$ .

Postać kanoniczna $a(x - p)^2 + q$ to dokładnie to samo: parabola $y = ax^2$ przesunięta o $[p, q]$ . Dlatego na scenie, gdy ruszasz $b$ albo $c$ , kształt paraboli się nie zmienia — zmienia się tylko jej położenie.

Proporcjonalność odwrotna

Trasę $120$ km możesz przejechać szybciej albo wolniej, ale prędkość razy czas zawsze daje $120$ . Czas przejazdu to $t = \frac{120}{v}$ : przy $60$ km/h jedziesz $2$ godziny, przy $80$ km/h — $1{,}5$ godziny. Dwa razy większa prędkość oznacza dwa razy krótszy czas.

Współczynnik $a$ znajdziesz z jednego punktu wykresu: jeśli hiperbola $y = \frac{a}{x}$ przechodzi przez $(2, 3)$ , to $a = 2 \cdot 3 = 6$ . Dla $a > 0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a < 0$ — w II i IV.

Wzrost i rozpad wykładniczy

Liczba bakterii podwaja się co godzinę, a na początku jest ich $500$ . Po $t$ godzinach:

\begin{gathered} N(t) = 500 \cdot 2^t \\ N(3) = 500 \cdot 8 = 4000 \end{gathered}

Kiedy będzie ich $8000$ ? $500 \cdot 2^t = 8000$ , czyli $2^t = 16$ i $t = \log_2 16 = 4$ godziny. Tak działa logarytm: odpowiada na pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę”.

Rozpad działa odwrotnie. Jeśli masa substancji maleje o połowę co $8$ dni, a na początku jest $80$ g, to $m(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$ . Po $24$ dniach (trzy okresy po $8$ dni) zostaje $80 \cdot \frac{1}{8} = 10$ g.

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte · 0–1 pkt

Funkcja $f(x) = x^2 - 6x + 5$ w przedziale $\langle 0, 4\rangle$ przyjmuje największą wartość dla $x$ równego

A $0$
B $3$
C $4$
D $5$

Pokaż rozwiązanie

$a = 1 > 0$ , więc ramiona idą w górę, a wierzchołek $p = \frac{6}{2} = 3$ to miejsce najmniejszej wartości: $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ . Największej trzeba szukać na końcach przedziału:

\begin{gathered} f(0) = 5 \\ f(4) = 16 - 24 + 5 = -3 \end{gathered}

Największa wartość to $5$ , przyjmowana dla $x = 0$ .

Pułapki: B to wierzchołek (tam jest minimum, nie maksimum), a D to sama największa wartość, a pytali o argument $x$ .

Odpowiedź: A.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

Z siatki o długości $40$ m trzeba ogrodzić prostokątny wybieg dla psa. Jeden bok wybiegu przylega do ściany budynku i tam siatka nie jest potrzebna. Oblicz wymiary wybiegu o największym polu i podaj to pole.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Niech $x$ — długość boku prostopadłego do ściany (w metrach). Takie boki są dwa, więc na bok równoległy do ściany zostaje $40 - 2x$ metrów. Oba wymiary muszą być dodatnie, więc $x \in (0, 20)$ .

Pole:

\begin{aligned} P(x) &= x(40 - 2x) \\ &= -2x^2 + 40x \end{aligned}

To funkcja kwadratowa z $a = -2 < 0$ , więc ramiona idą w dół, a największa wartość jest w wierzchołku:

p = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10

$10$ leży w przedziale $(0, 20)$ . Drugi wymiar to $40 - 2 \cdot 10 = 20$ m, a pole $P(10) = 10 \cdot 20 = 200$ m².

Odpowiedź: wybieg ma wymiary 10 m × 20 m (dłuższy bok wzdłuż ściany), a jego pole to 200 m².

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Mylisz osie przy odczytywaniu wykresu. Monotoniczność i miejsca zerowe podajesz jako przedziały i liczby na osi $x$ , a zbiór wartości na osi $y$ . „Funkcja rośnie w $\langle -4, +\infty)$ ” to częsty błąd, bo $-4$ to wartość, a nie argument.
Bierzesz wierzchołek, który leży poza przedziałem. Najpierw sprawdź, czy $p$ należy do przedziału. Jeśli nie, liczysz tylko wartości na końcach.
Gubisz znak w postaci kanonicznej i iloczynowej. $f(x) = (x + 2)^2 - 1$ ma wierzchołek $(-2, -1)$ , a nie $(2, -1)$ . Miejsce zerowe $x_1 = -3$ daje czynnik $(x + 3)$ .
Przesuwasz wykres w złą stronę. $f(x - 3)$ to przesunięcie o $3$ w prawo. Sprawdź jednym punktem: co wcześniej działo się w $x = 0$ , teraz dzieje się w $x = 3$ .
Prostopadłość mylisz z „przeciwnym $a$ ”. Prostopadła do $y = 2x + 1$ ma $a = -\frac{1}{2}$ , a nie $-2$ . Iloczyn współczynników ma wynosić $-1$ .
W optymalizacji odpowiadasz na inne pytanie. Pytali o wymiary, a podajesz pole, albo podajesz tylko $x$ . Na koniec przeczytaj jeszcze raz polecenie.
Mówisz, że $y = \frac{a}{x}$ maleje „na całej dziedzinie”. Dla $a > 0$ maleje osobno w $(-\infty, 0)$ i w $(0, +\infty)$ , ale nie w całej dziedzinie: $f(-1) = -a$ jest mniejsze niż $f(1) = a$ .

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Funkcje

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ : $a$ — nachylenie (znak decyduje o monotoniczności), $b$ — przecięcie z osią $y$ .
Proste: równoległe $a_1 = a_2$ , prostopadłe $a_1 \cdot a_2 = -1$ .
Kwadratowa: $\Delta = b^2 - 4ac$ , $p = -\frac{b}{2a}$ , $q = f(p)$ ; $f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Najmniejsza i największa wartość w $\langle m, n\rangle$ : porównaj $f(m)$ , $f(n)$ i $f(p)$ , jeśli $p$ leży w przedziale.
Optymalizacja: zapisz funkcję kwadratową jednej zmiennej z dziedziną, odpowiedź siedzi w wierzchołku.
$y = f(x - p) + q$ to przesunięcie wykresu o wektor $[p, q]$ : minus w nawiasie oznacza ruch w prawo.
$y = \frac{a}{x}$ : $x \cdot y = a$ , hiperbola, $x \neq 0$ .
$a^x$ : wartości dodatnie, punkt $(0, 1)$ ; $\log_a x$ : tylko $x > 0$ , punkt $(1, 0)$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Na koniec5 pytań · ok. 2 min

Szybki sprawdzian

Pięć krótkich pytań z działu „Funkcje”, każde trochę trudniejsze. Dobra odpowiedź podbija serię, a 5 na 5 to +30 XP.

Sprawdzian losuje pytania w przeglądarce, więc potrzebuje włączonego JavaScriptu. Bez niego przećwicz przykład maturalny z rozwiązaniem.

Pytanie 1 z 5

Seria: 0

Funkcje

Co musisz umieć na maturze

W pigułce

Definicje i wzory

Funkcja i jej wykres

Dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe

Monotoniczność

Funkcja liniowa

Funkcja kwadratowa

Przesunięcie wykresu

Proporcjonalność odwrotna

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Jak to działa

Czytanie wykresu na przykładzie sceny

Funkcja liniowa z dwóch punktów

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Najmniejsza i największa wartość w przedziale

Zadania optymalizacyjne

Przesuwanie wykresu

Proporcjonalność odwrotna

Wzrost i rozpad wykładniczy

Przykład maturalny

Pułapki

Ściąga

Szybki sprawdzian

Przećwicz to w grze

Zapamiętać Twoje postępy?