Liczby rzeczywiste: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Liczby rzeczywiste to wszystkie punkty osi liczbowej: całkowite, ułamki, ale też $\sqrt{2}$ czy $\pi$ .

Ten dział to skrzynka z narzędziami: potęgi, pierwiastki, procenty i logarytmy pojawiają się potem w funkcjach, ciągach i geometrii. Na scenie wyżej zobaczysz dwie rzeczy, które najłatwiej zrozumieć obrazkiem.

Przedział to kawałek osi, a kula albo pierścień na końcu mówi, czy ten koniec należy do zbioru. Wartość bezwzględna $|x - a|$ to po prostu odległość między dwoma punktami, czyli długość różowego łuku.

Krok 2 z 6ok. 5 minZaliczone

Definicje i wzory

Potęga

Potęga o wykładniku naturalnym to skrócony zapis mnożenia: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ( $n$ czynników). Dla $a \neq 0$ przyjmujemy:

\begin{gathered} a^0 = 1 \\[6pt] a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{gathered}

Prawa działań (dla $a > 0$ , $b > 0$ , a przy wykładnikach całkowitych dla $a \neq 0$ , $b \neq 0$ ):

\begin{gathered} a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \\[6pt] (a^r)^s = a^{r \cdot s}, \qquad (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r \end{gathered}

Używasz ich zawsze, gdy w zadaniu jest kilka potęg o tej samej podstawie. Te wzory masz na karcie wzorów.

Pierwiastek

Pierwiastek $\sqrt[n]{a}$ z liczby $a \geq 0$ to taka liczba $b \geq 0$ , że $b^n = a$ . Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje też z liczby ujemnej, np. $\sqrt[3]{-8} = -2$ . Pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym:

\begin{gathered} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \\[6pt] \sqrt{a^2} = |a| \end{gathered}

Ten związek pozwala zamienić każdy pierwiastek na potęgę i liczyć prawami z poprzedniego punktu. Oba wzory masz na karcie wzorów.

Notacja wykładnicza

Liczbę zapisujesz jako iloczyn liczby $a$ z przedziału $\langle 1, 10)$ i potęgi dziesiątki o wykładniku całkowitym $k$ :

\begin{gathered} x = a \cdot 10^k \\[6pt] 1 \leq a < 10 \end{gathered}

Na przykład $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$ . Tego nie ma na karcie wzorów.

Procent i punkt procentowy

$p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$ . Podwyżka o $p\%$ to mnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$ , obniżka to mnożenie przez $1 - \frac{p}{100}$ . Punkt procentowy to różnica między dwoma wartościami podanymi w procentach. Tych reguł nie ma na karcie wzorów, trzeba je rozumieć.

Procent składany

Kapitał $K_0$ na lokacie oprocentowanej $p\%$ w skali roku, z kapitalizacją co rok, po $n$ latach wynosi:

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Ten wzór masz na karcie wzorów (w części o ciągach).

Logarytm

Dla $a > 0$ , $a \neq 1$ i $b > 0$ logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$ , żeby dostać $b$ :

\log_a b = c \iff a^c = b

Własności (dla $x > 0$ , $y > 0$ ):

\begin{gathered} \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \\[6pt] \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \\[6pt] \log_a x^r = r \cdot \log_a x \end{gathered}

Zapis $\log x$ oznacza $\log_{10} x$ . Definicję i własności masz na karcie wzorów.

Przedział

Przedział to zbiór wszystkich liczb między dwoma końcami. Nawias kątowy oznacza, że koniec należy do przedziału, okrągły — że nie należy. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły.

\begin{gathered} \langle a, b) = \{x : a \leq x < b\} \\[6pt] (-\infty, b\rangle = \{x : x \leq b\} \end{gathered}

Tych zapisów nie ma na karcie wzorów.

Wartość bezwzględna

|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}

Liczba $|x|$ to odległość punktu $x$ od zera, a $|x - a|$ to odległość punktu $x$ od punktu $a$ . Definicję masz na karcie wzorów.

Krok 3 z 6ok. 4 minZaliczone

Jak to działa

Potęgi: liczysz czynniki

Prawa potęg nie są do wkucia, tylko do zobaczenia. $2^3 \cdot 2^4$ to trzy dwójki razy cztery dwójki, razem siedem: $2^7$ . Wykładnik ujemny bierze się z dzielenia: $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ , $2^0 = 1$ , więc następny krok to $2^{-1} = \frac{1}{2}$ .

Zasada pracy: sprowadź wszystko do jednej podstawy, potem dodawaj i odejmuj wykładniki.

\frac{4^3 \cdot 2^{-2}}{8} = \frac{2^6 \cdot 2^{-2}}{2^3} = 2^{6 - 2 - 3} = 2^1 = 2

Wykładnik wymierny czytasz od dołu ułamka: mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga. $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ , a $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$ .

Pierwiastki upraszczasz, wyciągając kwadrat przed znak: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ . Dzięki temu $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ . Dodawać możesz tylko „te same pierwiastki”, tak jak dodajesz $2x + 3x$ .

W notacji wykładniczej mnożysz osobno liczby, osobno potęgi dziesiątki: $(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) = 12 \cdot 10^3 = 1{,}2 \cdot 10^4$ . Ostatni krok jest konieczny, bo $12$ nie leży w przedziale $\langle 1, 10)$ .

Procenty: zawsze pytaj „procent czego?”

Cena 80 zł rośnie o 15%: $80 \cdot 1{,}15 = 92$ zł. Jeśli 30% liczby to 24, to cała liczba wynosi $24 : 0{,}3 = 80$ .

Porównanie zależy od tego, do czego porównujesz. Liczba 60 jest większa od 48 o $\frac{12}{48} = 25\%$ , ale 48 jest mniejsza od 60 o $\frac{12}{60} = 20\%$ . Różnica ta sama, podstawa inna.

Dlatego podwyżka o 20% i obniżka o 20% się nie znoszą: $100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96$ . Druga zmiana liczy się już od nowej kwoty.

Punkty procentowe opisują różnicę dwóch procentów. Gdy oprocentowanie lokaty rośnie z 4% do 5%, rośnie ono o 1 punkt procentowy, ale aż o 25%, bo $\frac{1}{4} = 25\%$ .

Procent składany: odsetki od odsetek

Wpłacasz 1000 zł na 5% rocznie. Po roku masz $1000 \cdot 1{,}05 = 1050$ zł. W drugim roku 5% liczy się już od 1050 zł, więc masz $1000 \cdot 1{,}05^2 = 1102{,}50$ zł, a po trzech latach $1000 \cdot 1{,}05^3 = 1157{,}625 \approx 1157{,}63$ zł. Każdy rok to jedno mnożenie przez $1{,}05$ — stąd potęga we wzorze.

Logarytmy: pytanie o wykładnik

$\log_2 8$ to pytanie: do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8? Odpowiedź: 3. Tak samo $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ , bo $3^{-2} = \frac{1}{9}$ , oraz $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ . Zawsze $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$ .

Własności logarytmów to prawa potęg „od drugiej strony”. Mnożenie liczb pod logarytmem zamienia się w dodawanie logarytmów:

\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2

Podobnie $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$ . Gdy przed logarytmem stoi liczba, najpierw wciągnij ją do wykładnika, a dopiero potem łącz: $3\log 2 + \log 125 = \log 8 + \log 125 = \log 1000 = 3$ .

Przedziały i wartość bezwzględna na osi

Nierówności $-2 \leq x$ i $x < 3$ razem dają przedział $\langle -2, 3)$ . Na scenie to domyślne ustawienie: kula przy $-2$ , pierścień przy $3$ . Liczby całkowite w tym przedziale to $-2, -1, 0, 1, 2$ , czyli pięć. Trójka odpada, bo koniec jest otwarty.

Część wspólną dwóch przedziałów czytasz z osi tam, gdzie belki nachodzą na siebie. Dla $A = \langle -2, 3)$ i $B = (1, 5\rangle$ mamy $A \cap B = (1, 3)$ oraz $A \cup B = \langle -2, 5\rangle$ .

Wartość bezwzględna to odległość, a odległość nie bywa ujemna. Równanie $|x - 3| = 5$ pyta, które punkty leżą 5 od trójki. Są dwa: $x = 3 - 5 = -2$ i $x = 3 + 5 = 8$ . Przy $|x + 1| = 4$ najpierw zapisz $|x - (-1)| = 4$ : to punkty odległe o 4 od $-1$ , czyli $x = -5$ lub $x = 3$ . W trybie „Wartość bezwzględna” zobaczysz oba rozwiązania naraz: żółty punkt i jego zielone odbicie.

Krok 4 z 6ok. 1 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Liczba $2\log_3 6 - \log_3 4$ jest równa

A $1$
B $2$
C $3$
D $\log_3 8$

Pokaż rozwiązanie

Współczynnik 2 wciągasz do wykładnika: $2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36$ .

Różnica logarytmów to logarytm ilorazu: $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9$ .

$3^2 = 9$ , więc $\log_3 9 = 2$ .

Odpowiedź A wychodzi, gdy ktoś policzy $2 \cdot 6 = 12$ zamiast $6^2$ . Odpowiedź D to błędne „odejmowanie pod logarytmem”.

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 0–2 pkt

Pani Ola wpłaciła 5000 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku, z kapitalizacją po każdym roku. Oblicz, po ilu pełnych latach kwota na lokacie po raz pierwszy przekroczy 5600 zł. Pomiń podatki.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Po $n$ latach na lokacie jest $K_n = 5000 \cdot 1{,}04^n$ . Szukasz najmniejszego $n$ , dla którego $5000 \cdot 1{,}04^n > 5600$ , czyli $1{,}04^n > 1{,}12$ .

Liczysz kolejne potęgi:

\begin{gathered} 1{,}04^2 = 1{,}0816 < 1{,}12 \\[6pt] 1{,}04^3 = 1{,}124864 > 1{,}12 \end{gathered}

Sprawdzenie w złotówkach: po 2 latach $5000 \cdot 1{,}0816 = 5408$ zł, po 3 latach $5000 \cdot 1{,}124864 = 5624{,}32$ zł.

Odpowiedź: po 3 latach.

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Minus przed potęgą. $(-3)^2 = 9$ , ale $-3^2 = -9$ , bo potęga dotyczy tylko trójki. Gdy podstawa jest ujemna, pisz nawias.
Procenty, które „się znoszą”. Podwyżka o 20% i obniżka o 20% dają 96% ceny, nie 100%. Każdą zmianę licz od aktualnej kwoty.
Procent zamiast punktu procentowego. Wzrost z 4% do 5% to 1 punkt procentowy, a nie 1%. Jeśli zadanie pyta „o ile procent”, podziel różnicę przez wartość początkową.
Logarytm sumy. $\log_a (x + y)$ to nie jest $\log_a x + \log_a y$ . Dodawanie logarytmów odpowiada mnożeniu liczb pod logarytmem. Pamiętaj też, że logarytm liczby ujemnej lub zera nie istnieje.
Nawias przy nieskończoności. Zapis $\langle 2, +\infty\rangle$ jest błędny, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru. Zawsze $\langle 2, +\infty)$ .
Pierwiastek z kwadratu. $\sqrt{(-5)^2} = 5$ , nie $-5$ . Ogólnie $\sqrt{a^2} = |a|$ . A równanie $|x - 2| = -1$ nie ma rozwiązań, bo odległość nie jest ujemna.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Liczby rzeczywiste

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ , $(a^r)^s = a^{rs}$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ .
Podwyżka o $p\%$ : mnożysz przez $1 + \frac{p}{100}$ . Obniżka: przez $1 - \frac{p}{100}$ .
Punkt procentowy = różnica dwóch procentów. Procent = różnica podzielona przez wartość początkową.
Procent składany: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .
$\log_a b = c \iff a^c = b$ ; $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ ; $\log_a x^r = r\log_a x$ .
Nawias $\langle\ \rangle$ — koniec należy, $(\ )$ — nie należy; przy $\infty$ zawsze okrągły.
$|x - a|$ to odległość $x$ od $a$ . Równanie $|x - a| = d$ dla $d > 0$ ma rozwiązania $x = a - d$ i $x = a + d$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Na koniec5 pytań · ok. 2 min

Szybki sprawdzian

Pięć krótkich pytań z działu „Liczby rzeczywiste”, każde trochę trudniejsze. Dobra odpowiedź podbija serię, a 5 na 5 to +30 XP.

Sprawdzian losuje pytania w przeglądarce, więc potrzebuje włączonego JavaScriptu. Bez niego przećwicz przykład maturalny z rozwiązaniem.

Pytanie 1 z 5

Seria: 0

Liczby rzeczywiste

Co musisz umieć na maturze