Trygonometria: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Trygonometria to słownik między kątami a bokami. W trójkącie prostokątnym kąt ostry wyznacza proporcje boków — sinus, cosinus i tangens to właśnie te proporcje.

Żeby objąć też kąty rozwarte, kąt kładziemy w okręgu o promieniu 1. Wtedy cosinus to po prostu współrzędna $x$ punktu na okręgu, a sinus — współrzędna $y$ .

Na scenie wyżej zielony odcinek to $\cos\alpha$ , różowy to $\sin\alpha$ , a żółte ramię ma długość 1. Przesuń $\alpha$ za $90^\circ$ : zielony odcinek przeskoczy na lewo od zera, czyli cosinus stanie się ujemny, a sinus dalej będzie dodatni.

Krok 2 z 6ok. 4 minZaliczone

Definicje i wzory

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Weź kąt ostry $\alpha$ w trójkącie prostokątnym. Niech $a$ to przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ , $b$ — przyprostokątna przy kącie $\alpha$ , a $c$ — przeciwprostokątna.

\begin{gathered} \sin\alpha = \frac{a}{c} \\[6pt] \cos\alpha = \frac{b}{c} \\[6pt] \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} \end{gathered}

Używasz ich zawsze, gdy w zadaniu jest trójkąt prostokątny i znasz kąt albo dwa boki. To absolutna podstawa — musisz to mieć w głowie.

Kąt od 0° do 180° w układzie współrzędnych

Kąt $\alpha$ zaczyna się na dodatniej półosi $x$ . Jeśli punkt $P = (x, y)$ leży na jego drugim ramieniu w odległości $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ od początku układu, to:

\begin{gathered} \sin\alpha = \frac{y}{r} \\[6pt] \cos\alpha = \frac{x}{r} \\[6pt] \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} \quad (\text{gdy } x \text{ nie jest zerem}) \end{gathered}

Na okręgu o promieniu $r = 1$ dostajesz najprostszy obraz: $P = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ . Tej definicji używasz dla kątów rozwartych i gdy zadanie podaje punkt na ramieniu kąta.

Wartości dla 30°, 45° i 60°

$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Te wartości naucz się na pamięć albo umiej je szybko odtworzyć z ekierki (sposób w części „Jak to działa”). Odczytywania przybliżonych wartości z tablic nie ma już w wymaganiach na poziomie podstawowym — liczy się dokładne $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , a nie $0{,}866$ .

Jedynka trygonometryczna i tangens

\begin{gathered} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\[6pt] \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Używasz go, gdy znasz jedną funkcję kąta i masz wyliczyć pozostałe.

Kąt rozwarty sprowadzony do ostrego

\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \\[6pt] \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \end{gathered}

Dzięki temu każdy kąt rozwarty sprowadzasz do ostrego: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , a $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Na scenie to szary punkt $P'$ — lustrzane odbicie $P$ względem osi $y$ .

Twierdzenie cosinusów

W dowolnym trójkącie, gdzie $\gamma$ to kąt między bokami $a$ i $b$ (leżący naprzeciw boku $c$ ):

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Ten wzór masz na karcie wzorów. Używasz go, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi (liczysz trzeci bok) albo trzy boki (liczysz kąt).

Pole trójkąta z sinusem

P = \frac{1}{2}\, a\, b \sin\gamma

Ten wzór też jest na karcie wzorów. Działa, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.

Krok 3 z 6ok. 3 minZaliczone

Jak to działa

Skąd się biorą wartości dla 30°, 45°, 60°

Kąt $45^\circ$ : przetnij kwadrat o boku 1 po przekątnej. Dostajesz trójkąt o przyprostokątnych $1$ i $1$ oraz przeciwprostokątnej $\sqrt{2}$ . Stąd $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , a $\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{1}{1} = 1$ .

Kąty $30^\circ$ i $60^\circ$ : przetnij trójkąt równoboczny o boku 2 wysokością. Połówka ma przeciwprostokątną $2$ , krótszą przyprostokątną $1$ (naprzeciw $30^\circ$ ) i wysokość $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ (naprzeciw $60^\circ$ ). Wtedy $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ .

Prosty trik na sinusy: dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ to kolejno $\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Cosinusy to te same liczby w odwrotnej kolejności.

Boki z jednego boku i kąta

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $10$ i kąt ostry $30^\circ$ . Przyprostokątna naprzeciw tego kąta to $10 \cdot \sin 30^\circ = 5$ , a ta przy kącie: $10 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3}$ . Sprawdzenie Pitagorasem: $25 + 75 = 100$ .

Kąty rozwarte i znaki

Na okręgu jednostkowym punkt $P$ dla kąta od $90^\circ$ do $180^\circ$ leży w drugiej ćwiartce: $x < 0$ , $y > 0$ . Dlatego $\sin\alpha > 0$ , a $\cos\alpha < 0$ i $\operatorname{tg}\alpha < 0$ . Przykład: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ , $\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}$ .

Na krańcach: $\sin 0^\circ = 0$ , $\cos 0^\circ = 1$ ; $\sin 90^\circ = 1$ , $\cos 90^\circ = 0$ ; $\sin 180^\circ = 0$ , $\cos 180^\circ = -1$ . Tangens $90^\circ$ nie istnieje, bo musiałbyś dzielić przez $\cos 90^\circ = 0$ .

Ważna konsekwencja: równanie $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ ma w przedziale od $0^\circ$ do $180^\circ$ dwa rozwiązania — $30^\circ$ i $150^\circ$ . Kliknij na scenie $30^\circ$ i $150^\circ$ : różowy odcinek ma tę samą wysokość. Za to cosinus już rozróżnia kąty — każda wartość od $-1$ do $1$ odpowiada dokładnie jednemu kątowi.

Jedna wartość daje wszystkie

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ . Z jedynki:

\begin{gathered} \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \\[6pt] \cos\alpha = \frac{4}{5} \end{gathered}

Bierzesz pierwiastek dodatni, bo kąt jest ostry. Potem $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}$ . Gdyby kąt był rozwarty, wyszłoby $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ i $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ .

Twierdzenie cosinusów to Pitagoras z poprawką

Gdy $\gamma = 90^\circ$ , to $\cos\gamma = 0$ i wzór zamienia się w $c^2 = a^2 + b^2$ . Poprawka $-2ab\cos\gamma$ mówi, o ile bok $c$ jest krótszy (kąt ostry) albo dłuższy (kąt rozwarty) niż w trójkącie prostokątnym.

Przykład: $a = 5$ , $b = 8$ , $\gamma = 60^\circ$ . Wtedy $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ , więc $c = 7$ .

Wzór działa też w drugą stronę. Trójkąt ma boki $3$ , $5$ , $7$ . Kąt $\gamma$ naprzeciw boku $7$ : $49 = 9 + 25 - 30\cos\gamma$ , czyli $30\cos\gamma = -15$ i $\cos\gamma = -\frac{1}{2}$ . To $\gamma = 120^\circ$ .

Pole z sinusem

We wzorze $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ czynnik $b\sin\gamma$ to po prostu wysokość opuszczona na bok $a$ . Przykład: $a = 6$ , $b = 10$ , $\gamma = 150^\circ$ . Ponieważ $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , pole wynosi $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .

Krok 4 z 6ok. 1 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ . Wtedy $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy

A $\frac{4}{3}$
B $-\frac{4}{3}$
C $\frac{3}{4}$
D $-\frac{3}{4}$

Pokaż rozwiązanie

Z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ , więc $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ albo $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ .

Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny: $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ .

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{5} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{3}$ .

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 3 pkt

W trójkącie $ABC$ boki mają długości $|AC| = 6$ i $|BC| = 10$ , a kąt $ACB$ ma miarę $120^\circ$ . Oblicz długość boku $AB$ i pole trójkąta $ABC$ .

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Kąt $120^\circ$ leży między bokami $AC$ i $BC$ , więc z twierdzenia cosinusów:

|AB|^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ

Ponieważ $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ , to $|AB|^2 = 36 + 100 + 60 = 196$ , więc $|AB| = 14$ .

Pole: $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc

P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}

Odpowiedź: $|AB| = 14$ , $P = 15\sqrt{3}$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Mylenie przyprostokątnych. Przyprostokątna przeciwległa nie dotyka wierzchołka kąta $\alpha$ . Zawsze zaznacz kąt na rysunku, zanim napiszesz $\sin$ czy $\cos$ .
Zły znak cosinusa. Z jedynki dostajesz $\cos^2\alpha$ , czyli dwie możliwości. Znak wybierasz po kącie: ostry — plus, rozwarty — minus.
Jeden sinus, dwa kąty. $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ to $45^\circ$ albo $135^\circ$ . Sprawdź, który kąt pasuje do zadania (np. czy suma kątów trójkąta nie przekroczy $180^\circ$ ).
Kąt nie z tego miejsca w twierdzeniu cosinusów. $\gamma$ musi leżeć między bokami $a$ i $b$ , naprzeciw $c$ . Przy kącie rozwartym $\cos\gamma < 0$ i minus razy minus daje plus — bok wychodzi dłuższy.
$\sin 2\alpha$ to nie $2\sin\alpha$ . Sprawdź: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , a $2\sin 30^\circ = 1$ . Sinus to funkcja, a nie mnożenie — liczby nie wolno „wyciągnąć” sprzed kąta.
Tangens 90°. Nie istnieje, bo $\cos 90^\circ = 0$ . Nie wpisuj go do odpowiedzi jako $0$ ani jako „nieskończoność”.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Trygonometria

$\sin\alpha = \frac{a}{c}$ , $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$ — $a$ naprzeciw kąta, $c$ to przeciwprostokątna.
Na okręgu jednostkowym $P = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ ; dla kąta rozwartego $\cos\alpha < 0$ , $\operatorname{tg}\alpha < 0$ .
$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ : $\sin$ to $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos$ odwrotnie; $\operatorname{tg}$ to $\frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}$ .
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ .
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ .
$P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Trygonometria

Co musisz umieć na maturze