Ciągi: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Ciąg to liczby ustawione w kolejce: pierwsza, druga, trzecia i tak dalej.

Numer miejsca to $n$ , a liczba na tym miejscu to $a_n$ . Na maturze rządzą dwa rodzaje ciągów.

Arytmetyczny: do każdego wyrazu dodajesz tę samą liczbę $r$ , więc wyrazy tworzą schody o równych stopniach. Geometryczny: każdy wyraz mnożysz przez tę samą liczbę $q$ , więc schody rosną coraz szybciej.

Na scenie wyżej każdy wyraz to słupek. Przycisk „Sztuczka Gaussa” pokazuje, skąd się bierze wzór na sumę: dwie kopie schodów składają się w prostokąt.

Krok 2 z 6ok. 4 minZaliczone

Definicje i wzory

Ciąg i wzór ogólny

Ciąg liczbowy to funkcja, która każdej liczbie naturalnej $n \geq 1$ przypisuje liczbę $a_n$ . Wzór ogólny pozwala od razu policzyć dowolny wyraz:

\begin{gathered} a_n = 2n - 3 \\ a_1 = -1,\quad a_2 = 1,\quad a_{10} = 17 \end{gathered}

Używasz go, gdy masz policzyć konkretny wyraz albo sprawdzić, czy jakaś liczba jest wyrazem ciągu.

Wzór rekurencyjny

Podaje pierwszy wyraz i przepis na następny wyraz z poprzedniego:

\begin{gathered} a_1 = 3 \\[6pt] a_{n+1} = 2a_n - 1 \end{gathered}

Stąd $a_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ , $a_3 = 9$ , $a_4 = 17$ . Żeby dojść do dziesiątego wyrazu, musisz policzyć wszystkie po kolei.

Monotoniczność

Ciąg jest rosnący, gdy każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, malejący — gdy mniejszy, stały — gdy równy. Sprawdzasz to znakiem różnicy:

\begin{gathered} a_{n+1} - a_n > 0 \text{ dla każdego } n \\ \Downarrow \\ \text{ciąg rosnący} \end{gathered}

Ujemna różnica dla każdego $n$ oznacza ciąg malejący, zerowa — stały.

Ciąg arytmetyczny

Każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ (różnicy). Te trzy wzory masz na karcie wzorów:

a_n = a_1 + (n - 1)r

\begin{gathered} S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \end{gathered}

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \text{dla } n \geq 2

Ostatni wzór mówi, że środkowy z trzech kolejnych wyrazów to średnia arytmetyczna sąsiadów.

Ciąg geometryczny

Każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez tę samą liczbę $q$ (iloraz). Te wzory też są na karcie:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

\begin{gathered} S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1 \\ S_n = n \cdot a_1 \quad \text{dla } q = 1 \end{gathered}

a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{dla } n \geq 2

Procent składany

Kapitał $K_0$ na lokacie z oprocentowaniem $p\%$ rocznie i kapitalizacją co rok po $n$ latach wynosi (wzór z karty):

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

To zwykły ciąg geometryczny o ilorazie $q = 1 + \frac{p}{100}$ .

Krok 3 z 6ok. 5 minZaliczone

Jak to działa

Arytmetyczny: schody o równych stopniach

Od $a_1$ do $a_n$ jest $n - 1$ stopni, nie $n$ . Dlatego w wzorze stoi $(n - 1)r$ . Przykład: $a_1 = 2$ , $r = 3$ , więc $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$ .

Gdy znasz dwa wyrazy, policz stopnie między nimi. Jeśli $a_3 = 7$ i $a_8 = 22$ , to od trzeciego do ósmego jest 5 stopni: $5r = 22 - 7 = 15$ , czyli $r = 3$ . Cofając się o dwa stopnie: $a_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 1$ .

Monotoniczność widać od razu: $r > 0$ — ciąg rosnący, $r < 0$ — malejący, $r = 0$ — stały. Na scenie przesuń suwak $r$ poniżej zera i patrz, jak schody zaczynają schodzić w dół.

Sztuczka Gaussa, czyli skąd wzór na sumę

Według znanej anegdoty Carl Friedrich Gauss jako uczeń szybko policzył sumę $1 + 2 + \ldots + 100$ . Zapisz tę sumę dwa razy, drugi raz od końca, i dodaj w pionie: $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ … Każda para daje $101$ , a par jest $100$ . Dwie sumy to $100 \cdot 101 = 10\,100$ , więc jedna suma to $5050$ .

Na scenie robi to przycisk „Sztuczka Gaussa”. Zielona kopia schodów obraca się o 180° i ląduje na żółtych schodach. W każdej kolumnie niski słupek łączy się z wysokim i wszystkie kolumny mają tę samą wysokość $a_1 + a_n$ . Powstaje prostokąt $n \times (a_1 + a_n)$ , czyli dwie sumy $S_n$ :

\begin{gathered} 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n \\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \end{gathered}

Sprawdź na domyślnych ustawieniach sceny: $a_1 = 2$ , $r = 2$ , $n = 5$ . Wtedy $a_5 = 10$ i $S_5 = \frac{2 + 10}{2} \cdot 5 = 30$ . Rzeczywiście $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ .

Geometryczny: schody, które przyspieszają

Dla $a_1 = 3$ i $q = 2$ dostajesz $3, 6, 12, 24, 48, 96, \ldots$ Szósty wyraz: $a_6 = 3 \cdot 2^5 = 96$ . Suma sześciu wyrazów:

S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-63}{-1} = 189

Sprawdzenie: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$ . Iloraz z dwóch wyrazów liczysz podobnie jak różnicę, tylko dzielisz. Jeśli $a_2 = 6$ i $a_5 = 48$ , to między nimi są trzy mnożenia przez $q$ : $q^3 = 48 : 6 = 8$ , więc $q = 2$ .

Z monotonicznością trzeba uważać. Dla $a_1 > 0$ : $q > 1$ daje ciąg rosnący, $0 < q < 1$ — malejący. Dla $a_1 < 0$ jest odwrotnie. A gdy $q < 0$ , znaki wyrazów zmieniają się na przemian, więc ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący. Na scenie ustaw ciąg geometryczny z $q = -2$ i zobacz, jak słupki skaczą raz w górę, raz w dół.

Trzy kolejne wyrazy

Gdy liczby $2x,\ 9,\ x + 6$ tworzą (w tej kolejności) ciąg arytmetyczny, środkowa jest średnią sąsiadów:

\begin{aligned} 9 &= \frac{2x + (x + 6)}{2} \\ 18 &= 3x + 6 \\ x &= 4 \end{aligned}

Sprawdzenie: $8, 9, 10$ — różnica $1$ . W ciągu geometrycznym środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi sąsiadów. Dla liczb $4,\ x,\ 9$ masz $x^2 = 36$ , więc $x = 6$ albo $x = -6$ . Oba wyniki są dobre: $4, 6, 9$ ma iloraz $\frac{3}{2}$ , a $4, -6, 9$ ma iloraz $-\frac{3}{2}$ .

Czy liczba jest wyrazem ciągu

Przyrównaj wzór do tej liczby i sprawdź, czy $n$ wychodzi naturalne. Dla $a_n = 2n - 3$ : $2n - 3 = 41$ daje $n = 22$ , więc $41$ to dwudziesty drugi wyraz. Ale $2n - 3 = 50$ daje $n = 26{,}5$ — takiego miejsca w kolejce nie ma, więc $50$ nie jest wyrazem tego ciągu.

Procent składany krok po kroku

Wpłacasz $5000$ zł na $4\%$ rocznie z kapitalizacją co rok. Po roku masz $5000 \cdot 1{,}04 = 5200$ zł. Po dwóch latach odsetki liczą się już od $5200$ zł: $5200 \cdot 1{,}04 = 5408$ zł. Po trzech: $5408 \cdot 1{,}04 = 5624{,}32$ zł. Co rok mnożysz przez to samo $1{,}04$ , więc to ciąg geometryczny i od razu:

K_3 = 5000 \cdot 1{,}04^3 = 5624{,}32 \text{ zł}

Gdyby odsetki liczyć zawsze tylko od pierwszej wpłaty (po $200$ zł rocznie), dostałbyś ciąg arytmetyczny: $5200, 5400, 5600$ . Różnica $24{,}32$ zł po trzech latach to właśnie „odsetki od odsetek”.

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte · 0–1 pkt

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla $n \geq 1$ . Wiadomo, że $a_2 = 7$ i $a_6 = 19$ . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A $144$
B $175$
C $205$
D $350$

Pokaż rozwiązanie

Od $a_2$ do $a_6$ są cztery stopnie: $4r = 19 - 7 = 12$ , więc $r = 3$ .

Pierwszy wyraz: $a_1 = a_2 - r = 7 - 3 = 4$ . Dziesiąty: $a_{10} = 4 + 9 \cdot 3 = 31$ .

Suma:

\begin{aligned} S_{10} &= \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 \\ &= \frac{4 + 31}{2} \cdot 10 = 175 \end{aligned}

Pozostałe odpowiedzi to typowe błędy: $144$ to suma tylko dziewięciu wyrazów, $205$ wychodzi, gdy weźmiesz $a_2$ za pierwszy wyraz, a $350$ — gdy zapomnisz podzielić przez $2$ .

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

W amfiteatrze w pierwszym rzędzie jest 20 miejsc, a w każdym następnym rzędzie o 3 miejsca więcej niż w poprzednim. W ostatnim rzędzie są 74 miejsca. Oblicz, ile rzędów ma amfiteatr i ile jest w nim wszystkich miejsc.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Liczby miejsc w kolejnych rzędach tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1 = 20$ , $r = 3$ . Ostatni rząd ma numer $n$ i $a_n = 74$ .

Szukamy $n$ :

\begin{aligned} 20 + (n - 1) \cdot 3 &= 74 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 54 \\ n - 1 &= 18 \\ n &= 19 \end{aligned}

Wszystkie miejsca to suma $19$ wyrazów:

\begin{aligned} S_{19} &= \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19 \\ &= \frac{20 + 74}{2} \cdot 19 \\ &= 47 \cdot 19 = 893 \end{aligned}

$n$ wyszło naturalne, więc dane są spójne.

Odpowiedź: amfiteatr ma 19 rzędów i 893 miejsca.

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Mnożysz $r$ przez $n$ zamiast przez $n - 1$ . Do dziesiątego wyrazu jest 9 stopni: $a_{10} = a_1 + 9r$ . Tak samo w geometrycznym: $a_{10} = a_1 \cdot q^9$ .
Potęgujesz razem z $a_1$ . We wzorze $a_1 \cdot q^{n-1}$ potęga dotyczy tylko $q$ . Dla $a_1 = 3$ , $q = 2$ : $a_4 = 3 \cdot 2^3 = 24$ , a nie $6^3$ .
Mylisz wyraz z sumą. „Dziesiąty wyraz” to $a_{10}$ , a „suma dziesięciu początkowych wyrazów” to $S_{10}$ . Przeczytaj pytanie dwa razy.
Gubisz ujemne rozwiązanie. Z $x^2 = 36$ wychodzą dwie liczby: $6$ i $-6$ . Sprawdź obie.
Uznajesz $n = 26{,}5$ za odpowiedź. Numer wyrazu musi być liczbą naturalną. Ułamek oznacza, że takiego wyrazu nie ma.
Liczysz procent składany jak prosty. Trzy lata po $4\%$ to mnożenie przez $1{,}04^3$ , a nie przez $1{,}12$ . I nie mnóż przez $0{,}04$ — to same odsetki z jednego roku, bez kapitału.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Ciągi

Arytmetyczny: $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .
Geometryczny: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ , $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ .
Trzy kolejne wyrazy $a, b, c$ : arytmetyczny $2b = a + c$ , geometryczny $b^2 = a \cdot c$ .
Monotoniczność: znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ . W arytmetycznym decyduje znak $r$ .
Procent składany: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ , czyli ciąg geometryczny z $q = 1 + \frac{p}{100}$ .
Wzory na $a_n$ , $S_n$ , trzy kolejne wyrazy i procent składany są na karcie wzorów. Liczenie stopni ( $n - 1$ ), badanie monotoniczności i sprawdzanie, czy $n$ jest naturalne, musisz umieć sam.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Ciągi

Co musisz umieć na maturze