Planimetria: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Planimetria to geometria na kartce: trójkąty, czworokąty, okręgi. Prawie każde zadanie wygląda tak samo — z kilku danych wyciągasz brakujący bok albo kąt, a na końcu liczysz pole lub obwód.

Narzędzi jest niewiele: suma kątów, twierdzenie Pitagorasa, kąty w okręgu i podobieństwo. Najważniejsze z nich pokazuje scena wyżej.

Kwadraty zbudowane na bokach trójkąta prostokątnego to baseny o tej samej głębokości, więc ilość wody w każdym jest proporcjonalna do jego pola. Gdy przelejesz żółty ( $a^2$ ) i zielony ( $b^2$ ) basen do różowego ( $c^2$ ), wypełni się równo po brzegi.

To właśnie $a^2 + b^2 = c^2$ .

Krok 2 z 6ok. 5 minZaliczone

Definicje i wzory

Trójkąt — kąty i boki

Suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$ . Każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych (nierówność trójkąta), a naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.

\begin{gathered} \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \\[6pt] a < b + c \end{gathered}

Nierówność trójkąta sprawdzasz, gdy zadanie pyta, czy z danych odcinków da się zbudować trójkąt. Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok.

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ :

a^2 + b^2 = c^2

Działa też w drugą stronę: jeśli dla boków zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$ , to trójkąt jest prostokątny. Gdy $c$ jest najdłuższym bokiem i $a^2 + b^2 > c^2$ , trójkąt jest ostrokątny, a gdy $a^2 + b^2 < c^2$ — rozwartokątny. Pitagorasa używasz w niemal każdym zadaniu z geometrii, więc musisz go mieć w głowie.

Trójkąt równoboczny

Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ :

\begin{gathered} h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \\[6pt] P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \end{gathered}

Wysokość dzieli go na dwa trójkąty o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Wzór na $h$ to po prostu Pitagoras: $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$ .

Pola trójkątów i czworokątów

\begin{gathered} P_{\triangle} = \frac{1}{2}ah \\[6pt] P_{\text{równoległoboku}} = ah \\[6pt] P_{\text{rombu}} = \frac{d_1 d_2}{2} \\[6pt] P_{\text{trapezu}} = \frac{(a + b)\,h}{2} \end{gathered}

Wzory na pola czworokątów masz na karcie wzorów. Zawsze sprawdź, że $h$ to wysokość — odcinek prostopadły do boku, a nie ukośne ramię. W rombie $d_1$ i $d_2$ to przekątne.

Kąty w okręgu

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany — na okręgu. Jeśli są oparte na tym samym łuku, to:

\text{kąt wpisany} = \frac{1}{2} \cdot \text{kąt środkowy}

Wnioski: kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na półokręgu (na średnicy) jest prosty. Do tego styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Długość łuku i pole wycinka

Dla okręgu o promieniu $r$ i kąta środkowego $\alpha$ :

\begin{gathered} l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \\[6pt] P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \end{gathered}

Te wzory masz na karcie wzorów. Ułamek $\frac{\alpha}{360^\circ}$ mówi, jaką część całego koła stanowi wycinek.

Twierdzenie Talesa

Jeśli ramiona kąta o wierzchołku $O$ przetniesz dwiema prostymi równoległymi — jedną w punktach $A$ , $A'$ , drugą w punktach $B$ , $B'$ — to odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim:

\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|}

Używasz go, gdy na rysunku są proste równoległe przecinające dwie inne proste.

Podobieństwo

Figury są podobne w skali $k$ , gdy jedna jest powiększeniem (albo pomniejszeniem) drugiej: wszystkie długości mnożą się przez $k$ , kąty się nie zmieniają. Trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (wystarczą dwa) albo proporcjonalne boki.

\begin{gathered} \frac{\text{obwód}_2}{\text{obwód}_1} = k \\[6pt] \frac{P_2}{P_1} = k^2 \end{gathered}

Wielokąty foremne

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Suma kątów $n$ -kąta to $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , więc w $n$ -kącie foremnym każdy kąt ma $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ .

Krok 3 z 6ok. 3 minZaliczone

Jak to działa

Dlaczego Pitagoras jest prawdziwy

Weź kwadrat o boku $a + b$ i ułóż w nim cztery takie same trójkąty prostokątne tak, żeby w środku został kwadrat o boku $c$ . Pole dużego kwadratu policzone na dwa sposoby:

(a + b)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2

Po lewej $a^2 + 2ab + b^2$ , po prawej $2ab + c^2$ . Odejmujesz $2ab$ i zostaje $a^2 + b^2 = c^2$ . Scena pokazuje to samo fizycznie: objętość basenu to pole dna razy głębokość, a głębokość jest wszędzie taka sama.

Przykłady: przyprostokątne $5$ i $12$ dają przeciwprostokątną $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ . Przekątna prostokąta $6 \times 8$ to $\sqrt{36 + 64} = 10$ . Trójkąt o bokach $4, 5, 6$ jest ostrokątny ( $16 + 25 = 41 > 36$ ), a o bokach $4, 5, 7$ — rozwartokątny ( $41 < 49$ ).

Kąty w okręgu w praktyce

Kąt środkowy ma $110^\circ$ . Każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma $55^\circ$ . Jeśli bok trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą, kąt naprzeciw niego ma $90^\circ$ . Dlatego w trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, a promień to $R = \frac{c}{2}$ .

Styczna: punkt $P$ leży w odległości $13$ od środka okręgu o promieniu $5$ . Promień do punktu styczności $T$ jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $OTP$ jest prostokątny i $|PT| = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .

Tales i podobieństwo

Na jednym ramieniu kąta $|OA| = 4$ , $|AB| = 6$ , na drugim $|OA'| = 6$ , a proste $AA'$ i $BB'$ są równoległe. Z Talesa $\frac{4}{6} = \frac{6}{|A'B'|}$ , więc $|A'B'| = 9$ .

Przy podobieństwie najczęstszy błąd dotyczy pól. Jeśli trójkąt powiększysz w skali $k = 3$ , każdy bok i obwód rosną trzy razy, ale pole rośnie $3^2 = 9$ razy. Trójkąt o polu $4$ po takim powiększeniu ma pole $36$ . Pole to „długość razy długość”, więc skala działa na nie dwa razy.

Wielokąty foremne

Kąt sześciokąta foremnego: $\frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$ , ośmiokąta: $\frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$ . Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$ , więc jego pole to $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ . Dla $a = 2$ wychodzi $6\sqrt{3}$ . Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ .

Wycinek koła

Promień $r = 6$ , kąt środkowy $60^\circ$ . To $\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$ koła, więc łuk ma długość $\frac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi$ , a wycinek pole $\frac{1}{6} \cdot 36\pi = 6\pi$ . Wynik zostawiasz z $\pi$ , chyba że zadanie każe go przybliżyć.

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są podobne. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $12$ , a obwód trójkąta $KLM$ jest równy $18$ . Pole trójkąta $ABC$ jest równe $16$ . Pole trójkąta $KLM$ jest równe

A $24$
B $36$
C $27$
D $54$

Pokaż rozwiązanie

Skala podobieństwa to stosunek obwodów: $k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .

Pola zmieniają się w skali $k^2 = \frac{9}{4}$ , więc pole $KLM$ to $16 \cdot \frac{9}{4} = 36$ .

Odpowiedź $24$ dostaje ten, kto pomnoży pole przez $k$ zamiast przez $k^2$ .

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 3 pkt

W trapezie prostokątnym $ABCD$ podstawy mają długości $|AB| = 12$ i $|CD| = 7$ , a ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw i ma długość $12$ . Oblicz obwód i pole tego trapezu.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Z wierzchołka $C$ opuść wysokość $CE$ na podstawę $AB$ . Wtedy $|CE| = |AD| = 12$ i $|EB| = 12 - 7 = 5$ .

Trójkąt $EBC$ jest prostokątny, więc z Pitagorasa:

|BC| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13

Obwód: $12 + 7 + 12 + 13 = 44$ .

Pole:

P = \frac{(12 + 7) \cdot 12}{2} = 114

Odpowiedź: obwód $44$ , pole $114$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Pitagoras w złym trójkącie. Działa tylko w trójkącie prostokątnym, a $c$ to przeciwprostokątna — najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego. Nie podstawiaj pod $c$ „ostatniego boku z treści”.
Pole przy podobieństwie. Długości i obwody mnożysz przez $k$ , pola przez $k^2$ . Jeśli dany jest stosunek pól, skalę liczysz pierwiastkiem.
Kąt wpisany dwa razy za duży. Wpisany to połowa środkowego, nie odwrotnie — i tylko wtedy, gdy oba są oparte na tym samym łuku.
Ramię zamiast wysokości. W równoległoboku i trapezie wysokość jest prostopadła do podstawy. Ukośne ramię jest od niej dłuższe — wysokość zwykle liczysz z Pitagorasa albo z sinusa.
Zapomniany ułamek. Pole rombu to $\frac{d_1 d_2}{2}$ , a trójkąta $\frac{1}{2}ah$ . Bez dzielenia przez $2$ dostajesz pole dwa razy za duże.
Trójkąt, który nie istnieje. Z odcinków $3$ , $4$ i $8$ nie zbudujesz trójkąta, bo $3 + 4 < 8$ . Sprawdź to, zanim zaczniesz liczyć.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Planimetria

Suma kątów trójkąta $180^\circ$ , $n$ -kąta $(n - 2) \cdot 180^\circ$ .
$a^2 + b^2 = c^2$ ; po bokach: $a^2 + b^2 > c^2$ to ostrokątny, $<$ rozwartokątny.
Trójkąt równoboczny: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
Trapez $\frac{(a + b)h}{2}$ , romb $\frac{d_1 d_2}{2}$ , równoległobok $ah$ .
Kąt wpisany to połowa środkowego; oparty na średnicy ma $90^\circ$ ; styczna jest prostopadła do promienia.
Łuk $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ , wycinek $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Skala $k$ : obwody razy $k$ , pola razy $k^2$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Na koniec5 pytań · ok. 2 min

Szybki sprawdzian

Pięć krótkich pytań z działu „Planimetria”, każde trochę trudniejsze. Dobra odpowiedź podbija serię, a 5 na 5 to +30 XP.

Sprawdzian losuje pytania w przeglądarce, więc potrzebuje włączonego JavaScriptu. Bez niego przećwicz przykład maturalny z rozwiązaniem.

Pytanie 1 z 5

Seria: 0

Planimetria

Co musisz umieć na maturze

W pigułce

Definicje i wzory

Trójkąt — kąty i boki

Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąt równoboczny

Pola trójkątów i czworokątów

Kąty w okręgu

Długość łuku i pole wycinka

Twierdzenie Talesa

Podobieństwo

Wielokąty foremne

Jak to działa

Dlaczego Pitagoras jest prawdziwy

Kąty w okręgu w praktyce

Tales i podobieństwo

Wielokąty foremne

Wycinek koła

Przykład maturalny

Pułapki

Ściąga

Szybki sprawdzian

Przećwicz to w grze

Zapamiętać Twoje postępy?