Stereometria: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Stereometria to geometria w trzech wymiarach, ale prawie żadnego zadania nie liczysz „w 3D”.

Liczysz na płaskim trójkącie prostokątnym, który siedzi w środku bryły: jeden jego bok to wysokość, drugi leży w podstawie, a trzeci to odcinek, którego szukasz. Na scenie wyżej taki trójkąt świeci na różowo.

Przełączaj bryły i zobacz, że schemat się nie zmienia: pionowa przyprostokątna, pozioma przyprostokątna, ukośna przeciwprostokątna i zielony kąt nachylenia przy podstawie.

Kiedy masz już wszystkie odcinki, wracasz do wzoru na objętość albo pole — te wzory dostajesz na karcie.

Krok 2 z 6ok. 4 minZaliczone

Definicje i wzory

Oznaczenia: $P_p$ — pole podstawy, $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole powierzchni całkowitej, $H$ — wysokość bryły.

Graniastosłup prosty

Dwie przystające, równoległe podstawy i ściany boczne, które są prostokątami. Graniastosłup prawidłowy to prosty z podstawą w kształcie wielokąta foremnego (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny).

\begin{gathered} V = P_p \cdot H \\[6pt] P_c = 2P_p + P_b \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Pole boczne to suma pól prostokątów: obwód podstawy razy wysokość.

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ :

\begin{gathered} V = abc \\[6pt] P_c = 2(ab + bc + ac) \\[6pt] d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \end{gathered}

Wzory na objętość i pole masz na karcie wzorów. W sześcianie ( $a = b = c$ ) wychodzi $V = a^3$ , $P_c = 6a^2$ , przekątna ściany $a\sqrt{2}$ , a przekątna sześcianu $a\sqrt{3}$ — te dwie przekątne naucz się na pamięć, bo pojawiają się bardzo często.

Ostrosłup

\begin{gathered} V = \frac{1}{3} P_p \cdot H \\[6pt] P_c = P_p + P_b \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. W ostrosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku. W prawidłowym czworokątnym to punkt przecięcia przekątnych kwadratu, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi o wysokości $h_s$ , więc $P_b = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a h_s$ .

Walec

\begin{gathered} V = \pi r^2 H \\[6pt] P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi r (r + H) \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Przekrój osiowy walca (cięcie przez oś) to prostokąt o bokach $2r$ i $H$ .

Stożek

\begin{gathered} V = \frac{1}{3}\pi r^2 H \\[6pt] P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Litera $l$ to tworząca — odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach $l$ i podstawie $2r$ . Kąt przy jego wierzchołku to kąt rozwarcia stożka.

Kula

\begin{gathered} V = \frac{4}{3}\pi r^3 \\[6pt] P = 4\pi r^2 \end{gathered}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Kula ma tylko jeden wymiar — promień — więc tu nie ma czego szukać z Pitagorasa.

Kąt nachylenia do podstawy

Kąt między odcinkiem a płaszczyzną to kąt między tym odcinkiem a jego rzutem na płaszczyznę (wyobraź sobie cień przy słońcu w zenicie). Kąt między ścianą boczną a podstawą mierzysz na dwóch odcinkach prostopadłych do wspólnej krawędzi — w ostrosłupie prawidłowym to wysokość ściany bocznej i odcinek od spodka wysokości do środka krawędzi podstawy.

\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{\text{rzut}}

Tego wzoru nie ma w takiej postaci na karcie: to zwykła definicja tangensa w trójkącie roboczym.

Krok 3 z 6ok. 4 minZaliczone

Jak to działa

Przepis na każde zadanie

Narysuj bryłę i zaznacz dane oraz szukane.
Znajdź trójkąt prostokątny, w którym siedzi szukany odcinek albo kąt. Prawie zawsze jedną przyprostokątną jest wysokość bryły, a drugą — odcinek w podstawie.
Policz ten odcinek w podstawie. Często to osobny, płaski Pitagoras.
Z twierdzenia Pitagorasa albo z sinusa, cosinusa, tangensa policz to, czego brakuje.
Wstaw wynik do wzoru na objętość albo pole.

Przekątna prostopadłościanu w dwóch krokach

Ustaw na scenie prostopadłościan $2 \times 3 \times 6$ . Najpierw płaski trójkąt w podstawie: przekątna podstawy $p$ spełnia $p^2 = 2^2 + 3^2 = 13$ . Potem trójkąt pionowy z przyprostokątnymi $p$ i $6$ :

\begin{gathered} d^2 = p^2 + 6^2 = 13 + 36 = 49 \\[6pt] d = 7 \end{gathered}

Zauważ, że $p$ nawet nie trzeba pierwiastkować — do drugiego kroku wchodzi $p^2$ . Stąd wzór $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . W sześcianie o krawędzi $a$ wychodzi $d^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$ , czyli $d = a\sqrt{3}$ , a kąt nachylenia przekątnej do podstawy ma $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ostrosłup prawidłowy: dwa różne trójkąty

To miejsce, gdzie ginie najwięcej punktów. W ostrosłupie są dwa trójkąty robocze i oba stoją na wysokości $H$ — różnią się tym, co leży w podstawie:

krawędź boczna $b$ i jej kąt z podstawą: w podstawie leży połowa przekątnej kwadratu, $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ;
wysokość ściany bocznej $h_s$ i kąt ściany z podstawą: w podstawie leży połowa boku, $\dfrac{a}{2}$ .

Przykład ze sceny: $a = 6$ , $H = 4$ . Wysokość ściany: $h_s^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ , więc $h_s = 5$ . Pole boczne to cztery trójkąty: $P_b = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60$ , więc $P_c = 36 + 60 = 96$ . Objętość: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$ . Krawędź boczna: $b^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 = 16 + 18 = 34$ , więc $b = \sqrt{34}$ .

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży w środku trójkąta równobocznego, który dzieli jego wysokość w stosunku $2 : 1$ . Do krawędzi bocznej bierzesz odcinek $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ , a do ściany bocznej — $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Walec i stożek: przekrój osiowy

Bryły obrotowe tnij przez oś — dostajesz płaską figurę. W walcu to prostokąt $2r \times H$ ; dla $r = 2$ , $H = 3$ jego przekątna to $\sqrt{16 + 9} = 5$ . W stożku przekrój to trójkąt równoramienny, a jego połowa jest trójkątem roboczym o bokach $r$ , $H$ , $l$ . Dla $r = 3$ , $H = 4$ masz $l = 5$ , objętość $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ i pole $P_c = 9\pi + 15\pi = 24\pi$ .

Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku przekroju osiowego — dwa razy większy niż kąt między tworzącą a wysokością. Jeśli kąt rozwarcia ma $60°$ , przekrój jest trójkątem równobocznym i od razu wiesz, że $l = 2r$ .

Proste w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni mogą się przecinać, być równoległe albo być skośne — nie mają punktu wspólnego, a mimo to nie są równoległe. W sześcianie $ABCDEFGH$ (dolna podstawa $ABCD$ , krawędź $AE$ pionowa) krawędzie $AB$ i $CG$ są skośne i jednocześnie prostopadłe: jedna biegnie poziomo, druga pionowo.

Bryły podobne

Jeśli wszystkie wymiary bryły pomnożysz przez $k$ , pola powierzchni rosną $k^2$ razy, a objętość $k^3$ razy:

\frac{V_2}{V_1} = k^3

Sześcian o krawędzi 3 razy dłuższej ma objętość $27$ razy większą. Na scenie wybierz kulę i zmień $r$ z 2 na 4 — objętość rośnie z $\dfrac{32\pi}{3}$ do $\dfrac{256\pi}{3}$ , czyli 8 razy.

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Przekątna sześcianu ma długość $6$ . Objętość tego sześcianu jest równa

A $216$
B $54\sqrt{2}$
C $24\sqrt{3}$
D $72$

Pokaż rozwiązanie

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$ . Z równania $a\sqrt{3} = 6$ dostajesz

a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

Objętość: $V = a^3 = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ .

Odpowiedź A to pułapka: $6$ to przekątna, a nie krawędź. Odpowiedź B wychodzi, gdy pomylisz przekątną sześcianu z przekątną ściany ( $a\sqrt{2} = 6$ ).

Odpowiedź: C.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $8$ . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60°$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Kąt ściany bocznej z podstawą, więc trójkąt roboczy tworzą: wysokość ostrosłupa $H$ , połowa boku podstawy $\dfrac{a}{2} = 4$ i wysokość ściany bocznej $h_s$ . Kąt $60°$ leży przy połowie boku.

Wysokość ostrosłupa z tangensa:

\operatorname{tg} 60° = \frac{H}{4} \quad \Rightarrow \quad H = 4\sqrt{3}

Wysokość ściany bocznej z cosinusa:

\cos 60° = \frac{4}{h_s} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = \frac{4}{h_s} \quad \Rightarrow \quad h_s = 8

Objętość:

V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{256\sqrt{3}}{3}

Pole powierzchni całkowitej: podstawa $64$ i cztery trójkąty o podstawie $8$ i wysokości $8$ :

P_c = 64 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 64 + 128 = 192

Odpowiedź: $V = \dfrac{256\sqrt{3}}{3}$ , $P_c = 192$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Wysokość ostrosłupa to nie wysokość ściany bocznej. $H$ biegnie ze szczytu prosto w dół do środka podstawy, $h_s$ — po ścianie do środka krawędzi. Zanim podstawisz, sprawdź, którą masz.
Połowa przekątnej czy połowa boku? Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego → $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . Ściana boczna → $\dfrac{a}{2}$ . Zobacz to na scenie, przełączając trójkąt roboczy.
Zgubiona jedna trzecia. Objętość ostrosłupa i stożka ma $\dfrac{1}{3}$ , graniastosłupa i walca — nie.
Średnica zamiast promienia. „Walec o średnicy 6” ma $r = 3$ . Przekrój osiowy walca ma bok $2r$ , nie $r$ .
Pole całkowite czy boczne. Walec ma dwie podstawy, stożek jedną, kula żadnej. Czytaj, o które pole pytają.
Skala to nie mnożnik objętości. Dwa razy dłuższe krawędzie to osiem razy większa objętość, nie dwa razy.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Stereometria

Graniastosłup: $V = P_p \cdot H$ . Ostrosłup: $V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot H$ .
Walec: $V = \pi r^2 H$ , $P_c = 2\pi r(r + H)$ . Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H$ , $P_c = \pi r(r + l)$ , $l^2 = r^2 + H^2$ .
Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ , $P = 4\pi r^2$ .
Przekątna kwadratu $a\sqrt{2}$ , sześcianu $a\sqrt{3}$ , prostopadłościanu $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Kąt nachylenia do podstawy: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{\text{rzut}}$ — wysokość przez rzut odcinka na podstawę.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: krawędź boczna → $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ , ściana boczna → $\dfrac{a}{2}$ .
Bryły podobne w skali $k$ : długości $\cdot k$ , pola $\cdot k^2$ , objętości $\cdot k^3$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Stereometria

Co musisz umieć na maturze