Geometria analityczna: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Geometria analityczna to geometria bez linijki. Każdy punkt to para liczb $(x; y)$ , więc długości, środki i proste liczysz wzorami, a nie mierzysz.

Bohaterem jest odcinek $AB$ — ten, od którego nasz kanał ma nazwę. Z samych współrzędnych jego końców wyliczysz długość, środek i prostą, na której leży.

Na scenie wyżej przesuwasz $A$ i $B$ . Zielony trójkąt to $\Delta x$ i $\Delta y$ : długość $|AB|$ jest jego przeciwprostokątną, czyli wychodzi ze zwykłego Pitagorasa.

Różowy słupek stoi w środku odcinka, a pod sceną widać równanie prostej $AB$ .

Krok 2 z 6ok. 3 minZaliczone

Definicje i wzory

Długość odcinka

Dla $A = (x_A; y_A)$ i $B = (x_B; y_B)$ :

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Ten wzór masz na karcie wzorów. To twierdzenie Pitagorasa dla przyprostokątnych $\Delta x = x_B - x_A$ i $\Delta y = y_B - y_A$ .

Środek odcinka

S = \left(\frac{x_A + x_B}{2};\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Ten wzór też jest na karcie. Środek to po prostu średnia współrzędnych końców.

Równanie kierunkowe prostej

y = ax + b

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile rośnie $y$ , gdy $x$ rośnie o $1$ . Liczba $b$ to miejsce, w którym prosta przecina oś $y$ : punkt $(0; b)$ . Prosta pionowa ma równanie $x = c$ i nie da się jej zapisać w postaci kierunkowej. Każdą prostą można też zapisać w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$ .

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Jeśli $x_A$ i $x_B$ są różne, to:

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Na karcie wzorów równanie prostej przez dwa punkty jest zapisane w postaci $(y - y_A)(x_B - x_A) - (y_B - y_A)(x - x_A) = 0$ . W praktyce szybciej jest policzyć $a$ i podstawić jeden punkt — tak jak w części „Jak to działa”.

Proste równoległe i prostopadłe

Dla prostych $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ :

\begin{gathered} \text{równoległe:}\ a_1 = a_2 \\[6pt] \text{prostopadłe:}\ a_1 \cdot a_2 = -1 \end{gathered}

Warunki są na karcie wzorów. Używasz ich, gdy masz napisać prostą równoległą albo prostopadłą do danej.

Równanie okręgu

Okrąg o środku $S = (a; b)$ i promieniu $r$ :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Ten wzór masz na karcie. Uwaga: tutaj $a$ i $b$ to współrzędne środka, a nie współczynniki prostej.

Symetrie

Obraz punktu $(x; y)$ w symetrii względem osi $x$ to $(x; -y)$ , względem osi $y$ — $(-x; y)$ , a względem początku układu — $(-x; -y)$ . Naucz się tego na pamięć: oś $x$ zmienia znak $y$ , oś $y$ zmienia znak $x$ , początek układu zmienia oba.

Krok 3 z 6ok. 3 minZaliczone

Jak to działa

Długość to Pitagoras

Weź $A = (-1; -2)$ i $B = (3; 1)$ — to ustawienie startowe sceny. $\Delta x = 3 - (-1) = 4$ , $\Delta y = 1 - (-2) = 3$ , więc $|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$ . Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo różnice podnosisz do kwadratu: $(-4)^2 = 16$ tak samo jak $4^2$ .

Nie zawsze wychodzi liczba całkowita. Dla $A = (-3; -1)$ i $B = (3; 3)$ masz $\Delta x = 6$ , $\Delta y = 4$ i $|AB| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

Środek to średnia

Dla $A = (-1; -2)$ i $B = (3; 1)$ : $S = \left(\frac{-1 + 3}{2}; \frac{-2 + 1}{2}\right) = (1; -0{,}5)$ .

Zadanie odwrotne: znasz środek $S = (2; 5)$ i koniec $A = (-1; 3)$ . Skoro $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ , to $x_B = 5$ ; skoro $\frac{3 + y_B}{2} = 5$ , to $y_B = 7$ . Czyli $B = (5; 7)$ . Szybki skrót: $B = 2S - A$ , osobno dla każdej współrzędnej.

Prosta przez dwa punkty w trzech krokach

Dalej $A = (-1; -2)$ , $B = (3; 1)$ .

Współczynnik kierunkowy: $a = \frac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{3}{4}$ .
Podstawiasz punkt $A$ do $y = \frac{3}{4}x + b$ : $-2 = -\frac{3}{4} + b$ , więc $b = -\frac{5}{4}$ .
Równanie: $y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}$ .

Sprawdzenie punktem $B$ : $\frac{3}{4} \cdot 3 - \frac{5}{4} = \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = 1$ . Zgadza się. Znak $a$ od razu mówi, jak biegnie prosta: $a > 0$ — rośnie, $a < 0$ — maleje, $a = 0$ — jest pozioma. Gdy $x_A = x_B$ , prosta jest pionowa: $x = x_A$ .

Równoległa i prostopadła przez punkt

Dana jest prosta $y = 2x - 3$ i punkt $P = (4; 1)$ .

Równoległa ma to samo $a = 2$ . Z punktu $P$ : $1 = 2 \cdot 4 + b$ , więc $b = -7$ i prosta to $y = 2x - 7$ .

Prostopadła ma $a = -\frac{1}{2}$ , bo $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ . Z punktu $P$ : $1 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + b$ , więc $b = 3$ i prosta to $y = -\frac{1}{2}x + 3$ . Na scenie przełącz na „prostopadłą przez S” — zobaczysz prostą prostopadłą do $AB$ przez jego środek, czyli symetralną odcinka.

Punkt przecięcia dwóch prostych

Wspólny punkt prostych to rozwiązanie układu ich równań. Dla $y = 2x - 3$ i $y = -\frac{1}{2}x + 3$ przyrównujesz prawe strony: $2x - 3 = -\frac{1}{2}x + 3$ , czyli $\frac{5}{2}x = 6$ i $x = 2{,}4$ . Wtedy $y = 2 \cdot 2{,}4 - 3 = 1{,}8$ . Proste przecinają się w punkcie $(2{,}4; 1{,}8)$ .

Okrąg — z równania i do równania

Z równania $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ odczytujesz środek $S = (3; -2)$ i promień $r = 5$ . Plus w nawiasie oznacza ujemną współrzędną, bo $y + 2 = y - (-2)$ .

W drugą stronę: okrąg o średnicy $AB$ ma środek w środku odcinka i promień $\frac{|AB|}{2}$ . Dla $A = (-1; -2)$ , $B = (3; 1)$ to $S = (1; -0{,}5)$ i $r = 2{,}5$ :

(x - 1)^2 + (y + 0{,}5)^2 = 6{,}25

Sprawdzenie punktem $A$ : $(-1 - 1)^2 + (-2 + 0{,}5)^2 = 4 + 2{,}25 = 6{,}25$ . Punkt leży na okręgu dokładnie wtedy, gdy po podstawieniu wychodzi $r^2$ .

Symetrie w praktyce

Punkt $A = (-1; -2)$ w symetrii względem osi $x$ przechodzi na $(-1; 2)$ , względem osi $y$ na $(1; -2)$ , a względem początku układu na $(1; 2)$ .

Krok 4 z 6ok. 1 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Proste o równaniach $y = (m - 1)x + 4$ oraz $y = 3x - 2$ są prostopadłe. Wtedy

A $m = 4$
B $m = \frac{2}{3}$
C $m = -2$
D $m = -\frac{1}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Warunek prostopadłości: $(m - 1) \cdot 3 = -1$ .

Stąd $m - 1 = -\frac{1}{3}$ , więc $m = \frac{2}{3}$ .

Odpowiedź A wyjdzie temu, kto użyje warunku równoległości ( $m - 1 = 3$ ), a D — temu, kto zapomni dodać $1$ .

Odpowiedź: B.

Zadanie 2otwarte · 3 pkt

Punkty $A = (-2; 1)$ i $B = (4; 9)$ są końcami średnicy okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu oraz równanie prostej $AB$ .

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Środek okręgu to środek odcinka $AB$ : $S = \left(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{1 + 9}{2}\right) = (1; 5)$ .

Długość średnicy: $|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ , więc $r = 5$ .

(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25

Prosta $AB$ : $a = \frac{9 - 1}{4 - (-2)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ . Podstawiasz $A$ : $1 = \frac{4}{3} \cdot (-2) + b$ , więc $b = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3}$ .

y = \frac{4}{3}x + \frac{11}{3}

Sprawdzenie punktem $B$ : $\frac{16}{3} + \frac{11}{3} = 9$ .

Odpowiedź: okrąg $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ , prosta $y = \frac{4}{3}x + \frac{11}{3}$ .

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Znaki w równaniu okręgu. $(x + 3)^2$ oznacza, że pierwsza współrzędna środka to $-3$ , a nie $3$ .
Promień zamiast jego kwadratu. W $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ promień to $5$ , nie $25$ . Układając równanie, pamiętaj, żeby promień podnieść do kwadratu.
Prostopadła bez jednego kroku. Dla $a_1 = 2$ prostopadła ma $a_2 = -\frac{1}{2}$ : odwrotność i przeciwny znak. Ani $-2$ , ani $\frac{1}{2}$ .
Różnice w różnej kolejności. W $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ odejmuj w liczniku i mianowniku w tej samej kolejności. Inaczej dostaniesz zły znak.
Prosta pionowa. Gdy $x_A = x_B$ , nie licz $a$ (dzielenie przez zero). Prosta ma równanie $x = x_A$ .
Środek to średnia, nie różnica. Współrzędne dodajesz i dzielisz przez $2$ . Brakujący koniec liczysz ze wzoru $B = 2S - A$ .

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Geometria analityczna

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , potem $b$ z podstawienia punktu do $y = ax + b$ .
Równoległe: $a_1 = a_2$ . Prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$ .
Okrąg $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ : środek $(a; b)$ , promień $r$ .
Symetria: względem osi $x$ — $(x; -y)$ , osi $y$ — $(-x; y)$ , początku układu — $(-x; -y)$ .

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Na koniec5 pytań · ok. 2 min

Szybki sprawdzian

Pięć krótkich pytań z działu „Geometria analityczna”, każde trochę trudniejsze. Dobra odpowiedź podbija serię, a 5 na 5 to +30 XP.

Sprawdzian losuje pytania w przeglądarce, więc potrzebuje włączonego JavaScriptu. Bez niego przećwicz przykład maturalny z rozwiązaniem.

Pytanie 1 z 5

Seria: 0

Geometria analityczna

Co musisz umieć na maturze