Kombinatoryka: matura z matematyki · Odcinek Matematyczny

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Kombinatoryka odpowiada na pytanie „na ile sposobów?”. Nie wypisujesz wszystkich możliwości — liczysz je.

Gdy wybór robisz krok po kroku (najpierw koszulka, potem spodnie, potem buty), liczby opcji mnożysz. Gdy rozpatrujesz przypadki, które się wykluczają (albo lody, albo ciasto), wyniki dodajesz.

Na scenie wyżej każdy etap to wachlarz gałęzi, a każdy liść to jeden kompletny wybór. Zmień liczbę opcji na dowolnym etapie i zobacz, że liczba liści to zawsze iloczyn — to cała reguła mnożenia.

Krok 2 z 6ok. 2 minZaliczone

Definicje i wzory

Reguła mnożenia

Jeśli pierwszą czynność możesz wykonać na $n_1$ sposobów, a potem — niezależnie od tego, co wybrałeś — drugą na $n_2$ sposobów, trzecią na $n_3$ sposobów itd., to wszystkich możliwości jest

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Używasz jej, gdy w treści jest ciąg decyzji: „wybierz to i potem tamto”.

Reguła dodawania

Jeśli zbiory możliwości $A$ i $B$ nie mają wspólnych elementów, to

|A \cup B| = |A| + |B|

Używasz jej, gdy dzielisz zadanie na przypadki, które nie mogą zajść jednocześnie: „albo to, albo tamto”.

Z powtórzeniami i bez powtórzeń

Gdy wybierasz $k$ razy z $n$ elementów i elementy mogą się powtarzać, każdy etap ma tyle samo opcji: $n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^k$ . Gdy nie mogą się powtarzać, każdy kolejny etap ma o jedną opcję mniej:

n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots

Oba wzory to po prostu reguła mnożenia — nie musisz ich pamiętać osobno.

Ustawienia w rzędzie

$n$ różnych przedmiotów możesz ustawić w rzędzie na

n! = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

sposobów. Zapis $n!$ czytamy „n silnia”; silnię masz na karcie wzorów. Przykład: $5! = 120$ .

Krok 3 z 6ok. 3 minZaliczone

Jak to działa

Dlaczego mnożenie

Masz 2 koszulki i 3 pary spodni. Do pierwszej koszulki pasuje każda z 3 par spodni — 3 zestawy. Do drugiej też 3. Razem $2 \cdot 3 = 6$ , bo masz 2 identyczne „wachlarze” po 3 gałęzie. Dorzuć 2 pary butów: każdy z 6 zestawów rozgałęzia się na 2, więc $6 \cdot 2 = 12$ . Na scenie widać to dosłownie: liczba liści rośnie razy tyle, ile opcji ma nowy etap. Etap z jedną opcją niczego nie zmienia ( $\cdot 1$ ).

Liczby o zadanych cyfrach: zacznij od warunku

Liczba trzycyfrowa to trzy etapy: cyfra setek, dziesiątek, jedności. Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc ma 9 opcji. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ , a dwucyfrowych $9 \cdot 10 = 90$ .

Liczby trzycyfrowe podzielne przez 5: ostatnia cyfra to 0 albo 5, więc $9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$ .

Gdy cyfry nie mogą się powtarzać, zaczynaj od tej pozycji, która ma najwięcej ograniczeń. Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach? Ostatnia cyfra musi być parzysta, ale zero sprawia kłopot — raz zabiera opcję pierwszej cyfrze, raz nie. Dlatego dzielisz na dwa rozłączne przypadki:

ostatnia cyfra to $0$ : pierwsza cyfra — 9 opcji (1–9), środkowa — 8 opcji (zostało 10 − 2 cyfr), razem $9 \cdot 8 = 72$ ;
ostatnia cyfra to $2$ , $4$ , $6$ lub $8$ (4 opcje): pierwsza — 8 opcji (bez zera i bez cyfry z końca), środkowa — 8 opcji, razem $4 \cdot 8 \cdot 8 = 256$ .

Z reguły dodawania: $72 + 256 = 328$ . To jest typowy schemat matury: w każdym przypadku mnożysz, a przypadki dodajesz.

Z powtórzeniami czy bez?

Czterocyfrowy PIN (cyfry mogą się powtarzać, zero na początku dozwolone): $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = \text{10 000}$ . Ten sam PIN, ale z różnymi cyframi: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . Podium (złoto, srebro, brąz) dla 8 zawodników: jeden zawodnik nie stanie na dwóch stopniach, więc $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

Ustawienia i blok

Pięć książek na półce: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ ustawień. A jeśli dwie konkretne książki mają stać obok siebie? Zwiąż je gumką i traktuj jak jedną: masz 4 „przedmioty”, czyli $4! = 24$ ustawienia, a w środku bloku 2 kolejności. Razem $24 \cdot 2 = 48$ .

Czy kolejność ma znaczenie?

Wybór przewodniczącego i zastępcy z 5 osób: $5 \cdot 4 = 20$ , bo „Ania przewodnicząca, Bartek zastępca” to co innego niż odwrotnie. Ale wybór dwuosobowej delegacji z 5 osób to $\dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$ — para Ania–Bartek to ta sama delegacja co Bartek–Ania, więc reguła mnożenia policzyła każdą parę dwa razy.

„Co najmniej jeden” — policz złe i odejmij

Ile liczb trzycyfrowych ma co najmniej jedną siódemkę? Liczenie wprost wymaga wielu przypadków. Prościej policzyć liczby bez siódemki: $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ (pierwsza cyfra: 1–9 bez 7, pozostałe: 0–9 bez 7). Wynik: $900 - 648 = 252$ .

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie występują wyłącznie cyfry nieparzyste?

A $60$
B $100$
C $125$
D $500$

Pokaż rozwiązanie

Cyfry nieparzyste to $1, 3, 5, 7, 9$ — jest ich 5. Zera wśród nich nie ma, więc pierwsza cyfra nie ma dodatkowego ograniczenia. Cyfry mogą się powtarzać, bo treść tego nie zabrania.

5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Odpowiedź A ( $5 \cdot 4 \cdot 3$ ) wyszłaby, gdyby cyfry musiały być różne.

Odpowiedź: C.

Zadanie 2otwarte · 0–2 pkt

W klasie jest 12 dziewcząt i 10 chłopców. Wybieramy przewodniczącego klasy i jego zastępcę. Obie funkcje muszą pełnić osoby tej samej płci. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić.

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Dwa rozłączne przypadki: obie funkcje pełnią dziewczęta albo obie pełnią chłopcy.

Dziewczęta: przewodniczącą wybierasz na 12 sposobów, zastępczynię spośród pozostałych na 11 sposobów. Kolejność ma znaczenie (to różne funkcje), więc z reguły mnożenia:

12 \cdot 11 = 132

Chłopcy, tym samym sposobem:

10 \cdot 9 = 90

Przypadki się wykluczają, więc z reguły dodawania:

132 + 90 = 222

Odpowiedź: 222 sposoby.

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

Zero na początku. Liczba trzycyfrowa nie może zaczynać się od 0. Kod PIN — może. Sprawdź, czy liczysz liczby, czy kody.
Powtórzenia. Jeśli treść nie zabrania powtórzeń, cyfry mogą się powtarzać. „Różne cyfry” albo „cyfry nie powtarzają się” zmienia każdy kolejny etap o jedną opcję mniej.
Dodawanie zamiast mnożenia. Etapy jeden po drugim („i potem”) — mnożysz. Przypadki, które się wykluczają („albo”) — dodajesz. Na scenie: liście jednego drzewa to iloczyn, dwa osobne drzewa to suma.
Przypadki, które się nakładają. Wśród liczb od 1 do 100 jest 50 parzystych i 20 podzielnych przez 5, ale liczb podzielnych przez 2 lub przez 5 jest 60, nie 70 — dziesięć liczb (10, 20, …, 100) policzyłbyś dwa razy. Regułę dodawania stosuj tylko do rozłącznych przypadków.
Kolejność. Funkcje (przewodniczący, zastępca) — kolejność ma znaczenie. Grupa, delegacja, para — nie ma, więc podziel przez liczbę powtórzeń tej samej grupy.
Zaczynanie od łatwej pozycji. Najpierw obsłuż cyfrę lub miejsce z warunkiem, dopiero potem resztę. Inaczej nie wiesz, ile opcji zostało.

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Kombinatoryka

Etapy jeden po drugim → mnożysz: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .
Rozłączne przypadki → dodajesz: $|A \cup B| = |A| + |B|$ .
Liczb dwucyfrowych jest $90$ , trzycyfrowych $900$ ; pierwsza cyfra ma 9 opcji.
Z powtórzeniami: $n^k$ . Bez powtórzeń: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots$
$n$ różnych rzeczy w rzędzie: $n!$ ustawień.
Para bez kolejności: podziel przez $2$ .
„Co najmniej jeden” = wszystkie − żaden.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Kombinatoryka

Co musisz umieć na maturze