Prawdopodobieństwo i statystyka: matura z matematyki

Krok 1 z 6ok. 1 minZaliczone

W pigułce

Prawdopodobieństwo klasyczne liczysz jak ułamek: ile wyników ci pasuje, podzielone przez to, ile jest wszystkich wyników — pod warunkiem, że każdy wynik jest tak samo możliwy.

Rzut dwiema kostkami ma 36 wyników i na scenie wyżej to tablica $6 \times 6$ . Zdarzenie to po prostu zbiór płytek, a jego prawdopodobieństwo to liczba tych płytek przez 36.

Rzucaj kostkami: częstość z kilku rzutów skacze, ale po setkach rzutów zbliża się do prawdopodobieństwa. Druga część działu to statystyka — średnia, mediana i dominanta to trzy sposoby, żeby jedną liczbą opisać cały zestaw danych.

Krok 2 z 6ok. 3 minZaliczone

Definicje i wzory

Doświadczenie losowe i Ω

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie znasz z góry: rzut kostką, losowanie kuli, wybór osoby. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$ (omega), a liczbę jego elementów — $|\Omega|$ .

Zdarzenie

Zdarzenie $A$ to zbiór tych wyników, które spełniają warunek z treści, np. „suma oczek jest równa 7”. Liczbę wyników sprzyjających oznaczamy $|A|$ .

Prawdopodobieństwo klasyczne

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Zawsze $0 \le P(A) \le 1$ : zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$ , pewne — $1$ .

Zdarzenie przeciwne

$A'$ to wszystkie wyniki, które nie należą do $A$ . Razem $A$ i $A'$ dają cały zbiór $\Omega$ , więc

P(A') = 1 - P(A)

Ten wzór masz na karcie wzorów. Używaj go, gdy w treści jest „co najmniej jeden” albo gdy zdarzenie przeciwne ma mniej wyników.

Średnia arytmetyczna

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę. Ten wzór masz na karcie wzorów.

Średnia ważona

Gdy dane mają różne wagi $w_1, w_2, \ldots, w_n$ (np. oceny z różnych form sprawdzania wiedzy albo liczby uczniów w tabeli):

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Ten wzór masz na karcie wzorów. Dzielisz przez sumę wag, nie przez liczbę różnych wartości.

Mediana

Uporządkuj dane od najmniejszej do największej. Przy nieparzystej liczbie danych mediana to wartość środkowa. Przy parzystej — średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości. Wzór na medianę jest na karcie wzorów, ale łatwiej po prostu znaleźć środek.

Dominanta

Dominanta to wartość, która występuje w zestawie najczęściej. Nie ma wzoru — patrzysz, którą wartość widać najwięcej razy w danych, w tabeli albo na diagramie (najwyższy słupek).

Krok 3 z 6ok. 4 minZaliczone

Jak to działa

Krok 1: policz wszystkie wyniki

Najczęściej pomaga reguła mnożenia z działu Kombinatoryka. Dwie kostki: $6 \cdot 6 = 36$ . Trzy rzuty monetą: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Losujesz kolejno dwie kule z pięciu: bez zwracania masz $5 \cdot 4 = 20$ wyników, ze zwracaniem — $5 \cdot 5 = 25$ .

Ważne: na scenie kostki są różnego koloru, żółta i biała. Wynik $(1, 6)$ to „1 na żółtej, 6 na białej”, a $(6, 1)$ — odwrotnie. To dwa różne wyniki, dlatego jest ich 36, a nie 21. Nawet gdy kostki wyglądają identycznie, liczysz tak samo.

Krok 2: policz wyniki sprzyjające

Przy małych zdarzeniach wypisz je. Suma oczek równa 7:

\begin{gathered} A = \{(1,6), (2,5), (3,4), \\[6pt] (4,3), (5,2), (6,1)\} \\[6pt] P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{gathered}

Na scenie to przekątna tablicy. Dublet (ta sama liczba na obu kostkach) to druga przekątna — też 6 płytek, więc też $\dfrac{1}{6}$ . Różne zdarzenia, ta sama liczba wyników, to samo prawdopodobieństwo.

Przy losowaniu bez zwracania mnożysz tak samo. W urnie są 3 kule białe i 2 czarne, losujesz kolejno dwie bez zwracania. Wyników jest $5 \cdot 4 = 20$ , a obie białe wychodzą na $3 \cdot 2 = 6$ sposobów, więc $P = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ .

Zdarzenie przeciwne: gdy „co najmniej”

„Co najmniej jedna szóstka na dwóch kostkach” wymaga liczenia kilku przypadków. Zdarzenie przeciwne to „żadnej szóstki”: na każdej kostce 5 możliwości, czyli $5 \cdot 5 = 25$ wyników. Stąd

P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

Tak samo z iloczynem parzystym: iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste ( $3 \cdot 3 = 9$ wyników), więc $P(A) = 1 - \dfrac{9}{36} = \dfrac{3}{4}$ . Sprawdź na scenie — różowych płytek jest 27.

Częstość a prawdopodobieństwo

Częstość to ułamek rzutów, w których zdarzenie zaszło. Jeśli w 100 rzutach suma 7 wypadła 15 razy, częstość wynosi $0{,}15$ , a prawdopodobieństwo $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ . Im więcej rzutów, tym częstość zwykle bliżej prawdopodobieństwa — kliknij kilka razy „Rzuć 100 razy” i patrz na żółty słupek. Prawdopodobieństwo nie mówi jednak, co wypadnie w następnym rzucie.

Średnia, mediana, dominanta na jednym zestawie

Oceny: $5, 3, 4, 2, 5, 4, 5, 6$ . Jest ich $8$ , suma to $34$ , więc średnia $\bar{x} = \dfrac{34}{8} = 4{,}25$ . Po uporządkowaniu: $2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6$ . Dwie środkowe wartości to $4$ i $5$ , więc mediana to $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$ . Najczęściej (3 razy) występuje $5$ — to dominanta.

Dane w tabeli to średnia ważona

Liczba rodzeństwa	0	1	2	3
Liczba uczniów	4	10	5	1

Uczniów jest $4 + 10 + 5 + 1 = 20$ . Liczba uczniów to waga:

\bar{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{20} = \frac{23}{20} = 1{,}15

Mediana: dane są już uporządkowane, środkowe to 10. i 11. wartość. Pierwsze 4 to zera, kolejne 10 (pozycje 5–14) to jedynki, więc obie środkowe są równe $1$ i mediana wynosi $1$ . Dominanta też jest równa $1$ .

Brakująca dana

Średnia liczb $3, 7, x, 8$ jest równa $6$ . Wtedy suma musi wynosić $4 \cdot 6 = 24$ , więc $18 + x = 24$ i $x = 6$ . Ten trik — „średnia razy liczba danych to suma” — rozwiązuje większość zadań z niewiadomą.

Krok 4 z 6ok. 2 minZaliczone

Przykład maturalny

Zadanie 1zamknięte

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w obu rzutach otrzymamy liczbę oczek podzielną przez $3$ , jest równe

A $\dfrac{1}{3}$
B $\dfrac{1}{6}$
C $\dfrac{1}{9}$
D $\dfrac{4}{9}$

Pokaż rozwiązanie

Wszystkich wyników jest $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ . Liczby oczek podzielne przez 3 to $3$ i $6$ — dwie możliwości w każdym rzucie. Wyniki sprzyjające:

\begin{gathered} A = \{(3,3), (3,6), (6,3), (6,6)\} \\[6pt] |A| = 2 \cdot 2 = 4 \end{gathered}

P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

Odpowiedź A to prawdopodobieństwo dla jednego rzutu ( $\dfrac{2}{6}$ ).

Odpowiedź: C.

Zadanie 2otwarte · 0–3 pkt

W tabeli przedstawiono oceny z klasówki w pewnej klasie.

Ocena	1	2	3	4	5	6
Liczba uczniów	2	4	7	8	3	1

Oblicz średnią arytmetyczną ocen i medianę. Ilu uczniów otrzymało ocenę wyższą od średniej?

Najpierw spróbuj sam na kartce. Potem odsłaniaj rozwiązanie po jednym kroku i porównuj.

Pokaż rozwiązanie

Liczba uczniów: $2 + 4 + 7 + 8 + 3 + 1 = 25$ .

Średnia (ważona liczbą uczniów):

\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1}{25} = \frac{2 + 8 + 21 + 32 + 15 + 6}{25} = \frac{84}{25} = 3{,}36

Mediana: danych jest 25, więc mediana to 13. ocena po uporządkowaniu. Jedynki zajmują miejsca 1–2, dwójki 3–6, trójki 7–13. Trzynasta ocena to $3$ .

Ocenę wyższą od $3{,}36$ , czyli $4$ , $5$ albo $6$ , dostało $8 + 3 + 1 = 12$ uczniów.

Odpowiedź: średnia $3{,}36$ , mediana $3$ , wyżej od średniej — 12 uczniów.

Krok 5 z 6ok. 1 minZaliczone

Pułapki

(1, 6) to nie to samo co (6, 1). Przy dwóch kostkach wyników jest 36. Jeśli liczysz „pary bez kolejności”, wyniki przestają być jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny daje zły wynik.
Prawdopodobieństwo większe od 1 albo ujemne. To zawsze błąd w liczeniu. Sprawdź $|A| \le |\Omega|$ .
Bez zwracania. Drugie losowanie ma o jeden wynik mniej. Przeczytaj, czy kulę oddajesz do urny.
Mediana bez sortowania. Zawsze najpierw uporządkuj dane. Przy parzystej liczbie danych weź średnią dwóch środkowych.
Średnia z tabeli. Dzielisz przez liczbę uczniów (sumę liczebności), a nie przez liczbę kolumn tabeli.
Dominanta to wartość, nie liczba wystąpień. W tabeli z oceną 4 u ośmiu uczniów dominanta to $4$ , a nie $8$ .

Krok 6 z 6ok. 1 minZaliczone

Ściąga

Ściąga: Prawdopodobieństwo i statystyka

$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$ , zawsze $0 \le P(A) \le 1$ .
$P(A') = 1 - P(A)$ — dla „co najmniej jeden” licz przez przeciwne.
Dwie kostki: $|\Omega| = 36$ ; $n$ rzutów monetą: $|\Omega| = 2^n$ .
Średnia: suma przez liczbę danych. Średnia ważona: suma iloczynów wartość · waga przez sumę wag.
Mediana: środek uporządkowanych danych; przy parzystej liczbie — średnia dwóch środkowych.
Dominanta: wartość występująca najczęściej.
Średnia · liczba danych = suma danych.

Odcinek Matematyczny · matura podstawowa z matematyki

Drukuje się tylko karteczka, bez reszty strony.

Na koniec5 pytań · ok. 2 min

Szybki sprawdzian

Pięć krótkich pytań z działu „Prawdopodobieństwo i statystyka”, każde trochę trudniejsze. Dobra odpowiedź podbija serię, a 5 na 5 to +30 XP.

Sprawdzian losuje pytania w przeglądarce, więc potrzebuje włączonego JavaScriptu. Bez niego przećwicz przykład maturalny z rozwiązaniem.

Pytanie 1 z 5

Seria: 0

Prawdopodobieństwo i statystyka

Co musisz umieć na maturze